§ 5. РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИИ

Предположим, что каждая из функций функциональной последовательности определена на некотором плотном в себе множестве пространства Ет.

Определение. Последовательность называется равностепенно непрерывной на множестве если для любого найдется такое, что неравенство

справедливо для всех номеров и всех точек множества связанных условием

Из этого определения очевидно, что если вся последовательность равностепенно непрерывна на множестве то и любая ее подпоследовательность равностепенно непрерывна на этом множестве.

Для простоты будем рассматривать последовательность функций одной переменной х, равностепенно непрерывную на сегменте По определению для любого найдется такое, что неравенство (2.53) справедливо для всех номеров и всех точек сегмента связанных условием

Докажем утверждение, представляющее собой функциональный аналог теоремы Больцано — Вейерштрасса.

Теорема 2.12 (теорема Арцела). Если функциональная последовательность равностепенно непрерывна и равномерно ограничена на сегменте то из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся равномерно на сегменте

Доказательство. Рассмотрим на сегменте следующую специальную последовательность точек в качестве возьмем ту точку, которая делит сегмент на две равные части, в качестве возьмем те две точки, которые вместе с делят сегмент на четыре равные части, в качестве возьмем те четыре точки, которые вместе с делят сегмент на восемь равных частей (см. рис. 2.3), и т. д.

Рис. 2.3

Построенная последовательность обладает следующим свойством: для любого найдется номер такой, что на любом принадлежащем сегменте длины лежит хотя бы один из элементов

Приступим теперь к выделению из последовательности равномерно на сегменте сходящейся подпоследовательности. Сначала рассмотрим последовательность в точке Получим ограниченную числовую последовательность из которой на основании теоремы Больцано—Вейерштрасса

(см. § 4 гл. 3 ч. 1) можно выделить сходящуюся подпоследовательность, которую мы обозначим так:

Далее рассмотрим функциональную последовательность

в точке По теореме Больцано — Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, которую мы обо значим так:

Таким образом, функциональная последовательность

является сходящейся и в точке и в точке

Далее рассматриваем функциональную последовательность (2.54) в точке и выделяем из нее сходящуюся подпоследовательность

Продолжая аналогичные рассуждения, получим бесконечное множество подпоследовательностей

причем подпоследовательность, стоящая в строке, является сходящейся в каждой из точек

Рассмотрим теперь так называемую «диагональную» последовательность

Докажем, что эта последовательность равномерно сходится на сегменте Для сокращения записи будем в дальнейшем обозначать эту диагональную последовательность (как и исходную последовательность) символом

(т. е. вместо сдвоенного индекса будем писать одинарный).

Фиксируем произвольное Так как диагональная последовательность является равностепенно непрерывной на сегменте

то для фиксированного найдется такое, что каковы бы ни были две точки из сегмента связанные неравенством для всех номеров справедливо неравенство

Заметив это, разобьем сегмент на конечное число отрезков длины, меньшей Из последовательности выберем конечное число первых членов настолько большое, чтобы в каждом из упомянутых отрезков содержалась хотя бы одна из точек

Очевидно, диагональная последовательность сходится в каждой из точек Поэтому для фиксированного выше найдется номер такой, что

для всех всех натуральных и всех

Пусть теперь х — произвольная точка сегмента Эта точка обязательно лежит в одном из упомянутых выше отрезков длины, меньшей Поэтому для этой точки х найдется хоть одна точка — один из номеров, равных удовлетворяющая условию

В силу того что модуль суммы трех величин не превосходит суммы их модулей, можем записать:

Второй член правой части (2.57) оценим с помощью неравенства (2.56), а для оценки первого и третьего членов правой части (2.57) учтем, что и используем неравенство (2.55), справедливое для любого номера (а следовательно, и для любого Окончательно получим, что для произвольного найдется номер такой, что

для всех всех натуральных и любой точки х из Равномерная сходимость диагональной последовательности доказана. Теорема 2.12 доказана.

Замечание 1. В теореме Арцела вместо равномерной ограниченности последовательности на сегменте достаточно потребовать ограниченности этой последовательности хотя бы в одной точке этого сегмента. В самом деле, справедливо следующее утверждение: если последовательность равностепенно непрерывна на сегменте и ограничена хотя бы в одной точке этого сегмента, то эта последовательность равномерно ограничена на сегменте Для доказательства этого

утверждения заметим, что по определению равностепенной непрерывности для найдется такое, что колебание любой функции на любом сегменте длины, не превышающей не превосходит числа Так как весь сегмент можно покрыть конечным числом сегментов длины, не превышающей то ко» лебание любой функции на всем сегменте не превосходит числа по. Но тогда из неравенства выражающего ограниченность последовательности в точке вытекает неравенство справедливое для любой точки х из сегмента и выражающее равномерную ограниченность рассматриваемой последовательности на этом сегменте.

Замечание 2. Установим достаточный признак равностепенной непрерывности: если последовательность состоит из дифференцируемых на сегменте функций и если последовательность производных равномерно ограничена на этом сегменте, то последовательность равностепенно непрерывна на сегменте

Для доказательства возьмем на сегменте две произвольные точки и запишем для функции на сегменте формулу Лагранжа (см. § 3 гл. 6 ч. 1).

Согласно теореме Лагранжа на сегменте найдется точка такая, что

Поскольку последовательность производных равномерно ограничена на сегменте найдется постоянная А такая, что для всех номеров справедливо неравенство

Подставляя (2.59) в (2.58), получим

Фиксируем любое . Тогда, взяв и использовав , получим, что для всех номеров и для всех из связанных условием будет справедливо неравенство

Равностепенная непрерывность последовательности доказана.

В качестве примера рассмотрим последовательность Эта последовательность равностепенно непрерывна на любом сегменте так как на любом сегменте последовательность из производных равномерно ограничена.

Замечание 3. Понятие равностепенной непрерывности можно вводить не по отношению к последовательности функций, а по отношению к любому бесконечному множеству функций.