2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.
В ч. 1 (см. п. 2 § 9 гл. 6) доказано, что остаточные члены в формуле Маклорена для функций 
стремятся к нулю на всей числовой прямой, а остаточный член в формуле Маклорена для функции 
стремится к нулю на полусегменте 
.
В силу утверждения 4 из предыдущего пункта это приводит нас к следующим разложениям:
Первые три из этих разложений сходятся для всех значений х, а последнее — для значений из полусегмента 
Остановимся теперь на разложении в степенной ряд функции 
или на так называемом биномиальном ряде. Если 
то
В силу признака Вейерштрасса для установления равномер ной на сегменте 
сходимости ряда, стоящего в правой части (2.69), достаточно доказать сходимость мажорирующего ряда (2.70).
Обозначим 
член ряда (2.70) символом 
Тогда для всех достаточно больших 
получим
Из формулы (2.71) вытекает, что
т. e. ряд (2.70) сходится в силу признака Раабе (см. п. 5 § 2 гл. 1).
Таким образом, доказано, что при 
ряд, стоящий в правой части (2.69), сходится равномерно на сегменте — 
Остается доказать, что указанный ряд сходится на сегменте 
к функции 
В силу доказанного выше сумма указанного ряда 
и функция 
совпадают всюду на интервале — 
Кроме того, обе функции 
непрерывны на сегменте 
(функция 
как сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций; непрерывность функции 
при 
очевидна).
Но тогда значения 
в точках 
обязаны совпадать, т. е. ряд, стоящий в правой части (2.69), равномерно сходится к 
на замкнутом сегменте 
— некоторое число из интервала 
всюду на интервале 
остаточный член 
стремится к нулю (при 
).
всюду на указанном интервале не превосходят единицы; последовательность 
ограничена, а число 
определено при любом фиксированном 
и при любом х из интервала — 
наконец, последовательность 
является бесконечно малой для любого х из интервала 
стремится к нулю для любого фиксированного 
и любого х из интервала 
всюду на интервале 
справедливо разложение
ряд, стоящий в правой части (2.69), равномерно сходится к функции 
на замкнутом сегменте 
