определена функция 
являющаяся предельной функцией последовательности частичных сумм этого ряда и называемая его суммой.
Последовательность (2.3) из рассмотренного в предыдущем пункте примера 1° имеет в качестве области сходимости весь сегмент 
В самом деле, 
для всех номеров 
т. е. в точке 
последовательность (2.3) сходится к единице. Если же фиксировать любое х из полусегмента 
то все функции 
начиная с некоторого номера (зависящего, конечно, от 
будут в этой точке х равны нулю. Отсюда следует, что в любой точке х полусегмента 
последовательность (2.3) сходится к нулю.
Итак, последовательность (2.3) сходится на всем сегменте 
к предельной функции 
имеющей вид
График этой функции изображен на рис. 2.2. Сразу же отметим, что эта функция не является непрерывной на сегменте [0, 1] (она имеет разрыв в точке 
справа).
Убедимся теперь в том, что ряд (2.4) из рассмотренного в предыдущем пункте примера 2° имеет в качестве области сходимости всю бесконечную плоскость 
Рис. 2.2
В самом деле, в п. 2 § 9 гл. 6 ч. 1 доказано, что остаточный член 
в формуле Маклорена для функции 
стремится к нулю при 
для любого вещественного 
. Это и означает, что 
частичная сумма 
ряда (2.4) отличается от 
на величину 
стремящуюся к нулю при 
в каждой точке 
плоскости 
Итак, ряд (2.4) сходится на всей плоскости 
и его сумма равна 
пространства Фиксируем произвольную точку 
множества 
и рассмотрим все члены функциональной последовательности (функционального ряда) в этой точке 
При этом получим числовую последовательность (числовой ряд).
в которых сходится данная функциональная последовательность (функциональный ряд), называется областью сходимости этой последовательности (ряда).
имеет в качестве области сходимости некоторое множество 
Совокупность пределов, взятых для всех точек х множества 
порождает множество всех значений вполне определенной функции 
определенной на множестве 
Эту функцию называют предельной функцией функциональной последовательности 
то на этом множестве
