Глава 3. ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Во вводной главе ч. 1 были указаны важные задачи о вычислении площади криволинейной трапеции и о нахождении пройденного материальной точкой пути, приводящие к понятию однократного определенного интеграла. Аналогичные «многомерные» задачи, такие, например, как задача о вычислении объема или задача о вычислении массы неоднородного тела, естественным образом приводят к рассмотрению двойных и тройных интегралов.

В настоящей главе излагается теория -кратных интегралов Построение теории -кратных интегралов проводится в полной аналогии с построением теории однократного интеграла. Для более эффективного использования аналогии с однократным интегралом сначала вводится понятие двойного интеграла для прямоугольника. Затем вводится понятие двойного интеграла по произвольной области как с помощью прямолинейного, так и с помощью произвольного разбиения этой области. Построенная теория переносится на случай -кратного интеграла. В конце главы изучаются кратные несобственные интегралы.

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

1. Определение двойного интеграла для прямоугольника.

Рассмотрим произвольную функцию определенную всюду на прямоугольнике (рис. 3.1). Введем понятие интегральной суммы функции

Разобьем сегмент на частичных сегментов при помощи точек а сегмент на частичных сегментов при помощи точек Этому разбиению сегментов соответствует разбиение прямоугольника прямыми, параллельными осям на частичных прямоугольников

Рис. 3.1

Указанное разбиение прямоугольника обозначим символом Т. Разбиение прямоугольника полученное из разбиения Т добавлением прямых, параллельных осям назовем измельчением разбиения Т и будем обозначать символом Т.

Всюду в этой главе под термином «прямоугольник» мы будем понимать прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям. На каждом частичном прямоугольнике выберем произвольную точку Положим и обозначим через площадь прямоугольника Очевидно, Длину диагонали прямоугольника равную назовем диаметром этого прямоугольника. Наибольший из диаметров всех частичных прямоугольников назовем диаметром разбиения Т прямоугольника и обозначим символом

Определение 1. Число

назовем интегральной суммой функции соответствующей данному разбиению Т прямоугольника и данному выбору промежуточных точек на частичных прямоугольниках разбиения Т.

Определение 2. Число I называется пределом интегральных сумм (3.1) при если для любого положительного числа можно указать такое положительное число 6, что при независимо от выбора промежуточных точек на выполняется неравенство

Отметим, что интегральную сумму (3.1) можно рассматривать как прямоугольную частичную сумму двойного ряда, а предел интегральных сумм (3.1) при — как предел при независимом стремлении парк бесконечности, т. е. как сумму соответствующего двойного ряда. (Элементы теории двойных рядов изложены в гл.

Определение 3. Функция называется интегрируемой (по Р иману) на прямоугольнике если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при

Указанный предел I называется двойным интегралом, от функции по прямоугольнику и обозначается одним. из следующих символов:

Замечание. Точно так же, как и для однократного определенного интеграла (см. § 1 гл. 9 ч. 1), методом доказательства от противного устанавливается, что любая интегрируемая на прямоугольнике функция является ограниченной на этом прямоугольнике. Поэтому везде в этой главе, кроме последнего параграфа, не оговаривая это дополнительно, будем рассматривать лишь ограниченные функции.