§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ

1. Основные обозначения.

Рассмотрим произвольную открытую область -мерного евклидова пространства Точки области будем обозначать символами

Определение. Дифференциальной формой степени , определенной в области будем называть функцию со которая при каждом фиксированном представляет собой знакопеременную -форму из

Множество всех дифференциальных -форм в области обозначим через

Мы будем считать, что при фиксированных -форма со представляет собой бесконечно дифференцируемую в функцию. Используя результаты § 1, мы можем каждую -форму со записать в виде

Всюду в дальнейшем вектор будем обозначать символом а векторы — символами

В качестве базиса в выберем векторы где единица стоит на месте. Элементами сопряженного базиса будут функции определяемые равенствами Тогда дифференциальная форма (6.1.18) примет вид

Примеры. 1°. Дифференциальная -форма — это любая функция, определенная в области (и, в силу наших предположений, бесконечно дифференцируемая в

2°. Дифференциальная -форма имеет вид

В частности, когда Дифференциальную форму степени 1 называют также линейной дифференциальной формой.

3°. Дифференциальная -форма имеет вид

По определению

В частности, при получим

Определитель равен элементу площадн, соответствующему векторам

В случае, когда обозначая получим

4°. Дифференциальная -форма в трехмерном пространстве имеет вид

Определитель равен элементу объема, отвечающему векторам