§ 3. ЗАМКНУТОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЕ

1. Равномерное приближение непрерывной функции тригонометрическими многочленами.

В этом параграфе будет установлена замкнутость (а следовательно, и полнота) тригонометрической системы (8.10) в пространстве всех кусочно непрерывных на сегменте функций. Но прежде чем приступить к доказательству замкнутости тригонометрической системы, установим важную теорему о равномерном приближении непрерывной функции так называемыми тригонометрическими многочленами.

Будем называть тригонометрическим многочленом произвольную линейную комбинацию любого конечного числа элементов тригонометрической системы (8.10), т. е. выражение вида

где — любой номер, произвольные постоянные вещественные числа.

Отметим два совершенно элементарных утверждения:

1°. Если — какой угодно алгебраический многочлен произвольной степени то — тригонометрические многочлены.

2°. Если — тригонометрический многочлен, то каждое из выражений также представляет собой тригонометрический многочлен.

Оба утверждения вытекают из того, что произведение двух (а поэтому и любого конечного числа) тригонометрических функций от аргумента х приводится к линейной комбинации конечного числа тригонометрических функций от аргументов типа (убедитесь в этом сами).

В теории тригонометрических рядов Фурье важную роль играет понятие периодической функции.

Определение. Функция называется периодической функцией с периодом Т, если: определена для всех вещественных для любого вещественного х справедливо равенство

Это равенство обычно называют условием периодичности. К рассмотрению периодических функций приводит изучение различных колебательных процессов.

Заметим, что все элементы тригонометрической системы (8.10) являются периодическими функциями с периодом

Теорема 8.7 (теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на сегменте и удовлетворяет условию то эту функцию можно равномерно на указанном сегменте приблизить тригонометрическими многочленами, т. е. для этой функции и для любого положительного числа найдется тригонометрический многочлен такой, что сразу для всех х из сегмента справедливо неравенство

Доказательство. Для удобства разобьем доказательство на два этапа.

1) Сначала дополнительно предположим, что функция является четной, т. е. для любого х из сегмента удовлетворяет условию

В силу теоремы о непрерывности сложной функции где (см. § 1 гл. 4 ч. 1) функция является непрерывной функцией аргумента на сегменте Следовательно, по теореме Вейерштрасса для алгебраических многочленов (см. теорему 2.18) для любого найдется алгебраический многочлен такой, что сразу для всех из сегмента

Положив мы получим

сразу для всех х из сегмента .

Так как обе функции являются четными, то неравенство (8.28) справедливо и для всех х из сегмента Таким образом, неравенство (8.28) справедливо для всех х из сегмента , и поскольку (в силу указанного выше утверждения Г) является тригонометрическим многочленом, то для четной функции теорема доказана.

Заметим теперь, что функцию удовлетворяющую условиям доказываемой теоремы, можно периодически с периодом продолжить на всю бесконечную прямую так что

продолженная функция будет непрерывна в каждой точке х бесконечной прямой. Кроме того, если функция продолжена таким образом, то (поскольку также является периодической функцией периода для четной функции неравенство (8.28) справедливо всюду на прямой

2) Пусть теперь — произвольная функция, удовлетворяющая условиям доказываемой теоремы. Эту функцию мы периодически с периодом продолжим на всю прямую и составим с помощью этой функции следующие четные функции:

По доказанному в 1) для любого найдутся тригонометрические многочлены такие, что всюду на числовой прямой

и поэтому

Складывая эти неравенства и учитывая, что модуль суммы двух величин не превосходит сумму их модулей, а также принимая во внимание равенства (8.29) и (8.30), получим, что всюду на числовой прямой справедливо неравенство

в котором через обозначен тригонометрический многочлен, равный

В проведенных нами рассуждениях вместо функции можно взять функцию . В полной аналогии с (8.31) получим, что для функции найдется тригонометрический многочлен такой, что всюду на числовой прямой

Заменяя в на и обозначая через тригонометрический многочлен вида получим, что всюду на числовой прямой справедливо неравенство

Наконец, складывая неравенства и обозначая через тригонометрический многочлен вида

получим, что всюду на числовой прямой справедливо неравенство (8.27). Теорема доказана.

Замечание. Каждое из условий 1) непрерывности на сегменте и 2) равенства значений является необходимым условием для равномерного на сегменте приближения функции тригонометрическими многочленами.

Иными словами, теорему Вейерштрасса можно переформулировать следующим образом:

Теорема 8.7. Для того чтобы функцию можно было равномерно на сегменте приблизить тригонометрическими многочленами, необходимо и достаточно, чтобы функция была непрерывной на сегменте и удовлетворяла условию

Достаточность составляет содержание теоремы 8.7.

Остановимся на доказательстве необходимости. Пусть существует последовательность тригонометрических многочленов равномерно на сегменте сходящаяся к функции Так как каждая функция непрерывна на сегменте , то по следствию 2 из теоремы 2.7 и функция непрерывна на сегменте . Для любого найдется многочлен такой, что для всех х из сегмента . Следовательно,

Из последних двух неравенств и из вытекающего из условия периодичности (с периодом равенства заключаем, что откуда (в силу произвольности