§ 3. ПОЧЛЕННЫЙ ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ

Рассмотрим произвольную точку х пространства и произвольное множество пространства для которого эта точка

является предельной. При этом точка х может сама не принадлежать множеству

Теорема 2.7. Если функциональный ряд

сходится равномерно на множестве к сумме и у всех членов этого ряда существует в точке х предел

то и сумма ряда имеет в точке х предел, причем

т. e. символ предела и символ суммирования можно переставлять местами (или, как говорят, к пределу можно переходить почленно).

Доказательство. Сначала докажем сходимость числового ряда . В силу критерия Коши, примененного к функциональному ряду (2.31), для любого найдется номер такой, что

для всех номеров удовлетворяющих условию всех натуральных и всех точек х множества Считая в неравенстве (2.33) фиксированными номера пира переходя в этом неравенстве к пределу при (такой предельный переход можно осуществить по любой последовательности точек множества сходящейся к точке получим

(для каждого и каждого натурального ). В силу критерия Коши ряд сходится.

Оценим теперь разность

для всех точек х множества из достаточно малой окрестности точки х. Так как

для всех точек х множества то для любого номера справедливо тождество

из которого получаем неравенство

справедливое для всех точек х множества

Фиксируем произвольное Так как ряд сходится, а ряд сходится равномерно на множестве то для фиксированного найдется номер такой, что для всех точек х множества

Так как предел конечной суммы равен сумме пределов слагаемых, то для фиксированного нами и выбранного номера можно указать такое, что

для всех точек х множества удовлетворяющих условию Из (2.34) — (2.36) следует, что для всех таких

Это доказывает существование предела в точке х, а следовательно, и справедливость равенства (2.32). Теорема доказана.

В терминах функциональных последовательностей теорема 2.7 звучит так:

Теорема 2.7. Если функциональная последовательность сходится равномерно на множестве к предельной функции и все элементы этой последовательности имеют предел в точке х, то и предельная функция имеет предел точке х, причем

т. e. символ предела последовательности и символ предела функции можно переставлять местами (или, как говорят, к пределу при можно переходить почленно).

Следствие 1 из теоремы 2.7. Если в условиях теоремы 2.7 дополнительно потребовать, чтобы точка х принадлежала множеству и чтобы все члены функционального ряда (2.31) были непрерывны в точке х, то и сумма этого ряда будет непрерывна в точке х.

В самом деле, в этом случае и равенство (2.32) принимает вид

а это и означает непрерывность суммы в точке х.

Следствие 2 из теоремы 2.7. Если все члены функционального ряда (функциональной последовательности) непрерывны на плотном в себе множестве и если этот функциональный ряд (эта функциональная последовательность) сходится равномерно на множестве то и сумма указанного ряда (предельная функция указанной последовательности) непрерывна на множестве

Для доказательства достаточно применить предыдущее следствие к каждой точке х множества