Глава 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Еще в курсе средней школы читателю приходилось сталкиваться с суммами, содержащими бесконечное число слагаемых (например, с суммой бесконечного числа членов геометрической прогрессии).

Исследование такого рода сумм, называемых рядами, может быть сведено к исследованию числовых последовательностей, тем не менее эти суммы требуют самостоятельного углубленного изучения, так как служат важным вспомогательным средством для представления различных встречающихся в анализе функций.

§ 1. ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОГО РЯДА

1. Сходящиеся и расходящиеся ряды.

Рассмотрим произвольную числовую последовательность формально образуем из ее элементов бесконечную сумму вида

Формально составленную сумму (1.1) принято называть числовым рядом или просто рядом. При этом отдельные слагаемые принято называть членами ряда (1.1). Сумму первых членов ряда (1.1) принято называть частичной суммой ряда и обозначать символом

Итак, по определению

Определение. Ряд (1.1) называется сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм (1.2) этого ряда. При этом предел указанной последовательности называется суммой ряда (1.1).

Таким образом, для сходящегося ряда (1.1), имеющего сумму 5, мы можем формально записать равенство

В случае, если для данного ряда (1.1) предела последовательности частичных сумм (1.2) не существует, этот ряд называется расходящимся.

Мы видим, что понятие суммы определено лишь для сходящегося ряда, причем (в отличие от понятия суммы конечного числа слагаемых) понятие суммы ряда вводится посредством операции предельного перехода.

В современной математике и в ее приложениях часто приходится сталкиваться с расходящимися рядами, для которых предела последовательности частичных сумм (1.2) не существует. Для таких рядов вводится понятие суммы в некоторых обобщенных смыслах. В § 7 настоящей главы будут рассмотрены наиболее употребительные методы обобщенного суммирования расходящихся рядов.

Одним из главных вопросов теории числовых рядов является установление признаков, позволяющих решить вопрос о сходимости или расходимости данного ряда. В § 2 такие признаки будут установлены для рядов, все члены которых являются неотрицательными числами, а в § 4 — для рядов с произвольными членами.

Примеры. 1°. Изучим вопрос о сходимости ряда, составленного из членов геометрической прогрессии

Так как частичная сумма этого ряда при имеет вид

то очевидно, что при последовательность частичных сумм имеет предел, равный Таким образом, при ряд (1.3) сходится и имеет сумму, равную

Если то из выражения (1.4) очевидно, что предела последовательности частичных сумм не существует, т. е. при ряд (1.3) расходится.

Для полноты картины остается рассмотреть случай т. е. случай, когда равно либо +1, либо —1. В случае, когда все члены ряда (1.3) равны единице и частичная сумма этого ряда равна Отсюда следует, что и в случае предела последовательности не существует, т. е. ряд (1.3) расходится.

Наконец, в случае ряд (1.3) имеет вид так что последовательность частичных сумм совпадает с заведомо расходящейся последовательностью Стало быть, и при ряд (1.3) расходится.

2°. Фиксировав любую точку числовой прямой, рассмотрим вопрос о сходимости трех числовых рядов

Обозначая частичные суммы рядов (1.5), (1.6) и (1.7) соответственно через можем записать:

Сопоставляя выражения (1.8), (1.9) и (1.10) с разложениями по формуле Маклорена функций (см. п. 2 § 9 гл. мы получим

где обозначают остаточные члены в разложении по формуле Маклорена функцией соответственно.

В § 9 гл. 6 ч. 1 доказано, что в каждой точке х числовой прямой указанные остаточные члены имеют равныц нулю предел при Следовательно, в силу соотношений (1.11) в каждой точке х прямой частичные суммы сходятся к пределам, равным соответственно Это означает,

что ряды (1.5), (1.6) и (1.7) сходятся в каждой точке числовой прямой и их суммы равны соответственно

Замечание 1. С формальной точки зрения изучение числовых рядов представляет собой новую форму изучения числовых последовательностей, ибо 1) каждому ряду (1.1) однозначно соответствует последовательность его частичных сумм, 2) произвольной числовой последовательности однозначно соответствует числовой ряд (1.1) с членами при для которого эта последовательность служит последовательностью частичных сумм.

Замечание 2. Отметим два простых свойства произвольного ряда, непосредственно вытекающие из определения его сходимости:

1. Отбрасывание конечного числа членов ряда (или добавление к ряду конечного числа членов) не влияет на сходимость или расходимость этого ряда.

II. Если с — отличная от нуля постоянная, то ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд Для обоснования первого из этих свойств достаточно заметить, что в результате указанного отбрасывания (или добавления) конечного числа членов все частичные суммы ряда, начиная с некоторого номера, изменятся на одну и ту же постоянную величину. Для доказательства второго из указанных свойств обозначим частичные суммы рядов соответственно через и и учтем, что где Из последнего равенства вытекает, что существует тогда и только тогда, когда существует