§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ И ПОЧЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА ФУРЬЕ

1. Вводные замечания.

В математической физике и в ряде других разделов математики существенную роль играет вопрос об условиях, при выполнении которых тригонометрический ряд Фурье функции сходится (к этой функции) в данной точке х сегмента .

Еще в конце прошлого века было известно, что существуют непрерывные на сегменте функции, удовлетворяющие условию , тригонометрические ряды Фурье которых расходятся в наперед заданной точке сегмента (или даже расходятся на бесконечном множестве точек сегмента , всюду плотном на этом сегменте)

Таким образом, одна непрерывность функции на сегменте без дополнительных условий не обеспечивает не только равномерную сходимость тригонометрического ряда Фурье этой функции, но даже сходимость этого ряда в наперед заданной точке указанного сегмента.

В этом и в следующем параграфах мы выясним, какие требования следует добавить к непрерывности функции (или ввести взамен непрерывности для обеспечения сходимости тригонометрического ряда Фурье этой функции в заданной точке, а также для обеспечения равномерной сходимости этого ряда на всем сегменте или на какой-либо его части.

При изучении сходимости тригонометрического ряда Фурье возникает и другой вопрос: должен ли тригонометрический ряд Фурье любой кусочно непрерывной (или даже строго непрерывной) на сегменте функции сходиться хотя бы в одной точке этого сегмента?

Положительный ответ на этот вопрос был получен только в 1966 г.

Этот ответ является следствием фундаментальной теоремы, доказанной в . Карлесоном и решившей знаменитую проблему Н. Н. Лузина поставленную еще в тригонометрический ряд Фурье любой функции для которой существует понимаемый в смысле Лебега интеграл сходится к этой функции почти всюду на сегменте .

Из теоремы Карлесона вытекает, что ряд Фурье не только любой кусочно непрерывной, но и любой интегрируемой на сегменте в собственном смысле Римана функции сходится к этой функции почти всюду на сегменте (так как для такой функции существует интеграл в смысле Римана, а следовательно, и в смысле Лебега).

Заметим, что если функция интегрируема на сегменте не в смысле Римана, а только в смысле Лебега, то тригонометрический ряд Фурье этой функции может не сходиться

ни в одной точке сегмента . Первый пример интегрируемой на сегменте в смысле Лебега функции со всюду расходящимся тригонометрическим рядом Фурье был построен в советским математиком А. Н. Колмогоровым.