2. Связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов.

Если бесконечное произведение (1.90) сходится, то в силу теоремы 1.17 все его члены и, начиная с некоторого номера, положительны. Поскольку конечное число первых членов вообще не влияет на сходимость бесконечного произведения, то при изучении вопроса о сходимости бесконечных произведений можно, не ограничивая общности, рассматривать лишь такие бесконечные произведения, у которых все члены положительны.

Теорема 1.18. Для того чтобы бесконечное произведение с положительными членами сходилось, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд

В случае сходимости сумма ряда (1.94) и значение Р произведения (1.90) связаны формулой

Доказательство. Обозначив через частичное произведение бесконечного произведения (1.90), а через частичную сумму ряда (1.94), можем записать:

В силу непрерывности показательной функции для всех значений аргумента и непрерывности логарифмической функции для всех положительных значений аргумента последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится причем если то Теорема доказана.

При исследовании на сходимость бесконечного произведения оказывается очень удобным представить его в виде

При этом, конечно, в соответствии с принятым выше предположением будем считать, что все

Теорема 1.18 утверждает, что вопрос о сходимости произведения (1.96) эквивалентен вопросу о сходимости ряда

Теперь мы можем доказать еще одно утверждение.

Теорема 1.19. Если все (по крайней мере начиная с некоторого номера) сохраняют один и тот же знак, то для сходимости бесконечного произведения (1.96) необходимо и достаточно, чтобы, сходился ряд

Доказательство. Поскольку условие является необходимым и для сходимости ряда (1.98), и для сходимости произведения (1.96), можно считать это условие выполненным как при доказательстве необходимости, так и при доказательстве достаточности. Но из указанного условия и из асимптотической формулы

вытекает, что

и

Поскольку по условию теоремы все члены рядов (1.97) и (1.98), начиная с некоторого номера, сохраняют один и тот же знак, условия (1.99) и (1.100) в силу следствия из теоремы сравнения 1.3 позволяют утверждать, что ряд (1.98) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд (1.97). Теорема доказана.

Так же, как и для рядов, для бесконечных произведений вводятся понятия абсолютной и условной сходимостей. Бесконечное произведение (1.96) называется абсолютно сходящимся в том и только в том случае, когда сходится абсолютна

ряд (1.97). Теоремы Коши 1.11 и Римана 1.10 позволяют заключить, что абсолютно сходящееся произведение обладает переместительным свойством, в то время как условно сходящееся произведение заведомо им не обладает.

Теорема 1.20. Бесконечное произведение (1.96) сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходится абсолютно ряд (1.98).

Для доказательства этой теоремы достаточно доказать, что ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд Это последнее легко вытекает из существования пределов (1.99) и (1.100). Детали рассуждений предоставляем читателю.

Примеры. 1°. Из расходимости гармонического ряда и из теоремы 1.19 вытекает расходимость следующих бесконечных произведений:

Легко понять, что первое из указанных произведений расходится к а второе — к нулю.

2°. Из той же теоремы 1.19 и из сходимости ряда вытекает сходимость при следующих бесконечных произведений:

3°. Рассмотрим бесконечное произведение

Так как ряд сходится, то в силу теорем 1.19 и 1.20 бесконечное произведение (1.101) сходится абсолютно для любого фиксированного значения х, отличного от мы докажем, что это произведение сходится к значению Тем самым будет обосновано разложение функции в бесконечное произведение

4°. Из разложения (1.102) с помощью соотношения элементарно получается следующее разложение:

Абсолютная сходимость произведения, стоящего в правой части (1.103), для любого отличного от вытекает из теорем 1.19 и 1.20 и из сходимости ряда

Полагая в разложении получим

Из (1.104) получается так называемая формула Валлиса

Путем несложных преобразований формулу Валлиса можно привести к виду

Первоначально формулу Валлиса использовали для приближенного вычисления числа . В настоящее время для вычисления числа существуют более эффективные методы. Формула Валлиса как в виде (1.105), так и в виде (1.106) представляет интерес для ряда теоретических исследований.