5. Внешнее произведение знакопеременных форм.

Рассмотрим две знакопеременные формы: и

В этом пункте мы введем основную операцию в теории знакопеременных форм — операцию внешнего умножения. Пусть

Рассмотрим следующую полилинейную форму

Эта форма, вообще говоря, не является знакопеременной: при перестановке аргументов и где форма (6.1.1) может не изменить знака. Этим обстоятельством и вызвана необходимость введения внешнего произведения.

Для того чтобы ввести внешнее произведение, нам понадобятся некоторые факты из теории перестановок. Напомним, что перестановкой чисел называют функцию определенную на этих числах и отображающую их взаимно однозначно на себя. Множество всех таких перестановок обозначается символом . Очевидно, что содержит всего различных перестановок. Для двух перестановок естественным образом определяется суперпозиция . Перестановка называется обратной к а, если , где тождественная перестановка (т. е.

Перестановка о называется транспозицией, если она переставляет два числа, оставляя другие на своем месте. Иначе говоря, если существует пара чисел такая, что для Очевидно, если — транспозиция, то .

Известно, что всякая перестановка о разлагается в суперпозицию транспозиций, переставляющих числа с соседними номерами, причем четность числа транспозиций в таком разложении не зависит от его выбора и называется четностью перестановки .

Введем следующее обозначение:

Заметим, что форма принадлежит если для любой перестановки

Рассмотрим снова полилинейную форму (6.1.1). Для любой перестановки положим

Нетрудно убедиться в том, что если и то

Определение. Внешним произведением формы и формы называется форма определяемая равенством

где сумма берется по всем перестановкам удовлетворяющим условию

а величина определяется равенствами (6.1.1) и (6.1.2).

Внешнее произведение форм сор и обозначается символом

Проиллюстрируем на примере, как действует перестановка о, удовлетворяющая условию (6.1.4). Предположим, что по некоторой дороге параллельно движутся две колонны автомобилей, в первой из которых , а во второй машин. Через некоторое время дорога сужается и обе колонны на ходу перестраиваются в одну. При этом автомобили первой колонны занимают места где-то среди автомобилей второй, однако порядок следования автомобилей внутри каждой колонны сохраняется. В результате мы получаем перестановку, удовлетворяющую условию (6.1.4). Легко видеть, что и обратно всякая такая перестановка может быть реализована на нашей модели.

Для того чтобы убедиться, что данное нами определение является корректным, необходимо доказать, что . Очевидно, в доказательстве нуждается только знакопеременность формы

Покажем, что при перестановке двух аргументов и форма меняет знак. Отсюда легко будет следовать, что . Пусть является такой перестановкой. Убедимся в том, что

Из равенства (6.1.3) получим

Разобьем эту сумму на две:

К первой сумме отнесем те перестановки о, для которых либо либо Для каждой такой перестановки

Для того чтобы сделать это утверждение более очевидным, обозначим Форма ста представляет собой произведение форм сор и причем аргументами сор являются векторы а аргументами — векторы Если то являются аргументами формы сор, которая по условию знакопеременна. Следовательно, при перестановке форма , а значит, и ста меняют знак. Аналогично рассматривается случай, когда

Итак, для первой суммы выполняется равенство

Ко второй сумме отнесем те перестановки для которых либо либо . Покажем, что множество перестановок удовлетворяющих этому условию (а также, разумеется, условию (6.1.4)), совпадает с множеством перестановок где Обратимся к нашей модели с двумя колоинами автомобилей. Утверждение примет следующий очевидный вид.

Если при каком-либо перестроении автомобиль с номером из первой колонны окажется непосредственно перед автомобилем с номером из второй колонны, то легко можно указать другое перестроение, в результате которого эти автомобили меняются местами, в то время как порядок движения остальных сохранится.

Таким образом, так как то

Подставляя (6.1.7) и (6.1.8) в (6.1.6), получим (6.1.5).

Примеры. 1°. Рассмотрим две линейные формы Внешним произведением этих форм является билинейная форма

2°. Пусть Внешним произведением будет -форма, аргументы которой мы обозначим через