3. Определение и условия существования двойного интеграла для произвольной области.

В п. 2 § 2 гл. 10 ч. 1 были введены понятия квадрируемости и площади плоской фигуры. Напомним, что плоской фигурой мы назвали часть плоскости, ограниченную простой замкнутой кривой. Плоская фигура называется квадрируемой, если верхняя и нижняя площади этой фигуры равны между собой. Это число называется площадью фигуры. Эти понятия без каких-либо изменений переносятся на случай произвольного ограниченного множества точек плоскости.

Во всех определениях и утверждениях указанного пункта вместо плоской фигуры можно брать произвольное ограниченное множество на плоскости.

В том же пункте было дано определение кривой (или границы фигуры) площади нуль: Г называется кривой площади нуль, если для любого найдется многоугольник, содержащий все точки Г и имеющий площадь, меньшую . В этом определении термин «многоугольник» можно заменить термином «элементарная фигура». Это следует из того, что любая элементарная фигура является многоугольником, а любой многоугольник с площадью, меньшей числа содержится в элементарной фигуре, имеющей площадь, меньшую числа (см. теорему 10.2" ч. 1).

Утверждение 1. Пусть кривая Г имеет площадь нуль и плоскость покрыта квадратной сеткой с шагом Тогда для любого найдется число такое, что сумма площадей всех квадратов, имеющих общие точки с Г, меньше е.

Действительно, для каждого можно фиксировать некоторую элементарную фигуру содержащую внутри себя Г и имеющую площадь, меньшую При достаточно малом все квадраты, имеющие общие с Г точки, содержатся в элементарной фигуре, получающейся заменой каждого прямоугольника прямоугольником со вдвое большими сторонами и с тем же центром.

Отметим, что класс кривых площади нуль весьма широк. Этому классу принадлежит, например, любая спрямляемая кривая (см. § 1 гл. 10 ч. 1).

Введем понятие двойного интеграла для произвольной двумерной области D. Пусть D — замкнутая ограниченная область, граница Г которой имеет площадь нуль, — произвольная

ограниченная функция, определенная в области D. Обозначим через любой прямоугольник (со сторонами, параллельными координатным осям), содержащий область D (рис. 3.2). Определим в прямоугольнике следующую функцию:

Рис. 3.2

Определение. Функцию назовем интегрируемой в области D, если функция интегрируема в прямоугольнике Число назовем двойным интегралом от функции по области D и обозначим, символом

Из этого определения вытекает следующее

Утверждение 2. Интеграл равен площади области D.

Действительно, подвергая соответствующий прямоугольник все более мелким разбиениям, получим, что верхние интегральные суммы этих разбиений будут равны площадям элементарных фигур, содержащих D, а нижние суммы — площадям элементарных фигур, содержащихся в D. Интегрируемость функции в области D следует из теоремы 3.3.

Утверждение 3. Пусть функция интегрируема в ограниченной квадрируемой области D, плоскость покрыта квадратной сеткой с шагом — квадраты указанной сетки, целиком содержащиеся в области — произвольная точка квадрата Тогда каждая

имеет предел при равный

Для доказательства достаточно заметить, что указанные суммы отличаются от обычной интегральной суммы (соответственно от нижней суммы) функции в области D только отсутствием

слагаемых по квадратам, имеющим общие точки с границей Г области причем сумма всех отсутствующих слагаемых по модулю меньшей произведения числа на площадь элементарной фигуры, состоящей из квадратов, имеющих общие точки с Г. Поскольку граница Г имеет площадь нуль, то согласно утверждению при

Из теоремы 3.3 и приведенного выше определения двойного интеграла вытекает следующая основная теорема.

Теорема 3.4. Если функция обладает в области - свойством, то она интегрируема в этой области.

Доказательство. Функция определенная формулой (3.2), в данном случае обладает -свойством в прямоугольнике . В самом деле, функция ограничена в и все ее точки и линии разрыва либо совпадают с соответствующими разрывами либо лежат на границе Г области Но граница Г имеет площадь нуль. Таким образом, утверждение теоремы следует из теоремы 3.3. Теорема доказана.

Следствие 1 из теоремы 3.4. Если функция ограничена в области D и имеет в этой области разрывы лишь на конечном числе спрямляемых линий, то интегрируема в области

Следствие 2 из теоремы 3.4. Если функция обладает в области -свойством, ограничена и совпадает с всюду в D, за исключением множества точек площади нуль, то функция интегрируема в области причем

В отношении данного нами определения двойного интеграла возникает вопрос о его корректности. Зависит ли факт существования двойного интеграла и его величина 1) от выбора на плоскости координатных осей от выбора прямоугольника на котором определяется функция

В следующем пункте будет дано другое определение интегрируемости функции и двойного интеграла, не зависящее ни от выбора координатных осей, ни от выбора прямоугольника и доказана эквивалентность этого определения приведенному выше.