2. Выражение для частичной суммы тригонометрического ряда Фурье.

Пусть -произвольная функция, определенная и кусочно непрерывная на сегменте .

Мы будем называть периодическим продолжением этой функции на всю прямую такую определенную на всей прямой функцию которая удовлетворяет трем требованиям:

1) совпадает с первоначально заданной функцией на интервале

2) имеет на концах сегмента значения

3) удовлетворяет условию периодичности с периодом т. е. удовлетворяет для любого х соотношению

Лемма. Если функция является периодическим продолжением на всю числовую прямую функции первоначально определенной и кусочно непрерывной на сегменте , то

все интегралы от этой функции по любому отрезку длины равны друг другу, т. е. для любого х справедливо равенство

Доказательство. В силу свойства аддитивности интеграла имеем

Используя условие периодичности с помощью замены получим

Из (8.51) и (8.52) вытекает соотношение (8.50). Лемма доказана.

Пусть теперь функция является периодическим продолжением на всю прямую функции первоначально определенной и кусочно непрерывной на сегменте .

Вычислим для этой функции в любой точке х частичную сумму ее тригонометрического ряда Фурье имеющую вид

Используя выражения для коэффициентов Фурье

и свойство линейности интеграла, выражение для можно переписать в следующем виде:

Сделаем в последнем интеграле замену переменной

Наконец, используя лемму 1 и замечая, что подынтегральная функция в последнем интеграле является периодической функцией аргумента с периодом получим

Вычислим сумму, стоящую в (8.53) в квадратных скобках. Для этого заметим, что для любого номера и любого значения справедливо равенство

Просуммируем это равенство повеем номерам равным

Отсюда

и, следовательно,

Подставляя (8.54) в (8.53), окончательно получим следующее выражение для частичной суммы тригонометрического ряда» Фурье:

справедливое в любой точке х числовой прямой.

Замечание. Из формулы (8.55) и из того, что все частичные суммы функции равны единице, вытекает следующее равенство: