8. Заключительные замечания.

1°. При решении ряда конкретных задач приходится раскладывать функцию в тригонометрический ряд Фурье не на сегменте , а на сегменте где I — произвольное положительное число. Для перехода к такому случаю достаточно во всех проведенных выше рассуждениях заменить переменную Конечно, при такой линейной замене переменной останутся справедливыми все установленные нами результаты, которые будут относиться к тригонометрическому ряду Фурье

со следующими выражениями для коэффициентов Фурье:

Мы не будем заново формулировать все установленные теоремы, а лишь отметим, что во всех формулировках сегмент следует заменить сегментом а период — периодом 21.

2°. Из вида (8.86) тригонометрических коэффициентов Фурье вытекает, что для четной функции равны нулю все коэффициенты а для нечетной функции равны нулю все коэффициенты Таким образом, четная функция раскладывается в тригонометрический ряд Фурье только по косинусам.

а нечетная функция раскладывается в тригонометрический ряд Фурье только по синусам.

3°. Приведем весьма часто употребляемую комплексную форму записи тригонометрического ряда Фурье (8.85). Используя соотношения (см. п. 3 § 7 гл. 2)

легко убедиться в том, что тригонометрический ряд Фурье (8.85) с коэффициентами Фурье (8.86) приводится к виду

в котором комплексные коэффициенты имеют вид

и выражаются через коэффициенты (8.86) по формулам