проекция области D на ось 
Тогда существует повторный интеграл
и справедливо равенство
Рис. 3.3
Рис. 3.4.
Доказательство. Обозначим через 
прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, содержащий область D, а через 
функцию (3.2), совпадающую с 
в
D и равную нулю в остальных точках 
Для 
выполнены в 
все условия теоремы 3.6 и, следовательно, справедлива формула (3.12), которая переходит в формулу (3.16) (в силу выбора функции 
Теорема доказана.
Замечание 1. В теореме 3.7 можно поменять ролями 
т. е. можно предположить, что выполнены следующие два условия: 1) область D такова, что любая прямая, параллельная оси 
пересекает границу Г либо по целому отрезку 
либо не более чем в двух точках, абсциссы которых суть 
где 
функция 
интегрируема в области D и для любого 
допускает существование однократного интеграла
— проекция D на ось 
При выполнении этих условий существует повторный интеграл
и справедливо равенство
Замечание 2. В случае, если область D не удовлетворяет требованиям теоремы 3.7 или замечания 1 к этой теореме, часто удается разбить эту область на сумму конечного числа областей такого типа, не имеющих общих внутренних точек. Тогда интеграл по области D в силу свойства аддитивности равен сумме интегралов по соответствующим областям. Так, область D, изображенную на рис. 3.4, можно разбить на сумму трех областей 
к каждой из которых применима или теорема 3.7, или замечание 1.
Рис. 3.5
Пример. Пусть область В ограничена кривыми 
(рис. 3.5). Любая прямая, параллельная оси 
пересекает границу D не более чем в двух точках. Для удобства записи повторных интегралов разобьем область D на две области 
осью 
Применяя по каждой из областей формулу (3.16), получим
пересекает границу Г по целому отрезку 
либо не более чем в двух точках, ординаты которых суть 
где 
(рис. 3.3) ; 2) функция 
интегрируема в области D и для любого 
допускает существование однократного интеграла
