2. Биортогональные базисы в пространстве E^n.

Пусть базис 2) в -мерном пространстве Очевидно, что — линейно независимые векторы.

Определение. Базис (индекс вверху), называется биортогональным к базису если выполнены соотношения

Утверждение. Для всякого базиса пространства существует единственный биортогональный базис

Доказательство. Обозначим линейную оболочку (т. е. множество всех линейных комбинаций) векторов

через Взяв из ортогонального дополнения к вектор нормированный условием

мы, очевидно, найдем, что

Векторы также образуют базис пространства Действительно, если бы это было не так, то нашелся бы вектор из этого пространства, который неоднозначно разлагался бы по системе

т. е. нулевой вектор имел бы разложение по базису с коэффициентами, не равными одновременно нулю. Следовательно, какой-нибудь вектор из системы принадлежал бы линейной оболочке векторов Но этого быть не может, так как в этом случае был бы ортогонален вектору (поскольку при Однако вектор не может быть ортогональным потому что по построению

Таким образом, к произвольному базису построен биортогональный базис причем все векторы этого базиса определяются единственным образом. В самом деле, если бы наряду с был бы еще один биортогональный базис то мы имели бы, что для всех Отсюда следует, что поскольку если некоторый вектор ортогонален всем векторам базиса, то он ортогонален и самому себе, поэтому является нулевым вектором. Утверждение доказано.

Заметим, что если базис — ортонормированный, то биортогональный к нему совпадает с ним самим.