3. Преобразования базисов. Ковариантные и контрвариантные координаты вектора.

Мы часто будем пользоваться переходом от биортогональных базисов к новым биортогональным базисам

Используя наши соглашения о суммировании, запишем разложения базисных векторов:

Здесь матрица перехода от старого базиса к новому матрица обратного перехода от базиса Аналогично — матрицы прямого и обратного перехода от базиса к базису .

Формулы (6.1) — это формулы перехода от старого базиса к новому и формулы обратного перехода. Формулы (6.2) — это формулы перехода от старого базиса к новому и формулы обратного перехода.

Преобразования (6.1) взаимно обратны, поэтому и матрицы взаимно обратны. Действительно, умножив первое равенств (6.1) скалярно на а второе из равенств (6.1) на получим, учитывая биортогональность базисов:

Однако, как следует из тех же формул (6.1),

Таким образом,

т. е. матрицы взаимно обратны.

Аналогично устанавливается, что и матрицы взаимно обратны.

Справедливо следующее утверждение о связи между матрицами

Утверждение. Матрица совпадает с матрицей а матрица совпадает с матрицей

Доказательство. Очевидно, силу взаимной обратности матриц и матриц достаточно доказать, что совпадают

В силу (6.3) получим, что

Аналогично с помощью (6.2) получим, что

Правые части соотношений (6.4) и (6.4) равны, поэтому что и требовалось.

Следствие. Для перехода от базисов к базисам достаточно знать только матрицу перехода от базиса к базису (матрица является обратной к и вычисляется по ней).

Таким образом, мы приходим к следующим формулам преобразования базисов:

Выведем теперь формулы преобразования координат вектора при переходе к новому базису. Сначала проведем следующие рассуждения.

Пусть — биортогональные базисы, а — произвольный вектор. Тогда разложения вектора а имеют вид

Биортогональный базис дает очень удобный способ вычисления коэффициентов в разложении (6.6). Действительно, умножая первое из соотношений (6.6) скалярно на а второе — на получаем

Следовательно, формулы (6.6) с учетом соотношений (6.7) принимают вид

В частности, представляя в первое равенство (6.8) вместо вектора а вектор , а во второе равенство — вектор получимся

где

Если умножить первое из соотношений (6.9) скалярно на а второе — на то

т. e. матрицы взаимно обратны и по своему построению в силу симметрии скалярного произведения симметричны.

Выведем формулы преобразования координат вектора при. переходе к новому базису. Если — старый базис, а — новый, — биортогональные к ним базисы и если

то, как мы знаем, из формул (6.7) следует, что

Подставляя в правую часть этого соотношения вместо его выражение из (6.5), получим

Итак, координаты вектора а, разложенного по базису (биортогональному к новому базису в новом базисе имеют вид

здесь матрица прямого перехода от старого базиса к новому базису координаты вектора а в разложении по биортогональному базису

Таким образом, координаты при переходе от старого базиса к новому преобразуются с помощью матрицы перехода от старого базиса к новому по формуле (6.10). Поэтому говорят, что координаты а; преобразуются «согласованно», и эти координаты называются ковариантными (что означает «согласованно изменяющийся») координатами вектора а.

Если теперь согласно формулам (6.7) записать

и подставить сюда вместо его выражение из (6.5), то

Из формулы (6.11) видно, что при переходе к новому базису координаты в разложении вектора а по старому базису преобразуются с помощью матрицы перехода от нового базиса к старому.

Поэтому говорят, что координаты преобразуются «несогласованно», и эти координаты называются контравариантными (что означает «противоположно изменяющийся») координатами вектора а.