Формулы (6.1) — это формулы перехода от старого базиса
к новому
и формулы обратного перехода. Формулы (6.2) — это формулы перехода от старого базиса
к новому
и формулы обратного перехода.
Преобразования (6.1) взаимно обратны, поэтому и матрицы
взаимно обратны. Действительно, умножив первое
равенств (6.1) скалярно на
а второе из равенств (6.1) на
получим, учитывая биортогональность базисов:
Однако, как следует из тех же формул (6.1),
Таким образом,
т. е. матрицы
взаимно обратны.
Аналогично устанавливается, что и матрицы
взаимно обратны.
Справедливо следующее утверждение о связи между матрицами
Утверждение. Матрица
совпадает с матрицей
а матрица
совпадает с матрицей
Доказательство. Очевидно,
силу взаимной обратности матриц
и матриц
достаточно доказать, что совпадают
В силу (6.3) получим, что
Аналогично с помощью (6.2) получим, что
Правые части соотношений (6.4) и (6.4) равны, поэтому
что и требовалось.
Следствие. Для перехода от базисов
к базисам
достаточно знать только матрицу
перехода от базиса
к базису
(матрица
является обратной к
и вычисляется по ней).
Таким образом, мы приходим к следующим формулам преобразования базисов:
Выведем теперь формулы преобразования координат вектора при переходе к новому базису. Сначала проведем следующие рассуждения.
Пусть
— биортогональные базисы, а — произвольный вектор. Тогда разложения вектора а имеют вид
Биортогональный базис дает очень удобный способ вычисления коэффициентов
в разложении (6.6). Действительно, умножая первое из соотношений (6.6) скалярно на
а второе — на
получаем
Следовательно, формулы (6.6) с учетом соотношений (6.7) принимают вид
В частности, представляя в первое равенство (6.8) вместо вектора а вектор
, а во второе равенство — вектор
получимся
где
Если умножить первое из соотношений (6.9) скалярно на а второе — на
то
т. e. матрицы
взаимно обратны и по своему построению в силу симметрии скалярного произведения симметричны.
Выведем формулы преобразования координат вектора при. переходе к новому базису. Если
— старый базис, а
— новый,
— биортогональные к ним базисы и если
то, как мы знаем, из формул (6.7) следует, что
Подставляя в правую часть этого соотношения вместо
его выражение из (6.5), получим