Главная > Математический анализ. Продолжение курса
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. Преобразования базисов. Ковариантные и контрвариантные координаты вектора.

Мы часто будем пользоваться переходом от биортогональных базисов к новым биортогональным базисам

Используя наши соглашения о суммировании, запишем разложения базисных векторов:

Здесь матрица перехода от старого базиса к новому матрица обратного перехода от базиса Аналогично — матрицы прямого и обратного перехода от базиса к базису .

Формулы (6.1) — это формулы перехода от старого базиса к новому и формулы обратного перехода. Формулы (6.2) — это формулы перехода от старого базиса к новому и формулы обратного перехода.

Преобразования (6.1) взаимно обратны, поэтому и матрицы взаимно обратны. Действительно, умножив первое равенств (6.1) скалярно на а второе из равенств (6.1) на получим, учитывая биортогональность базисов:

Однако, как следует из тех же формул (6.1),

Таким образом,

т. е. матрицы взаимно обратны.

Аналогично устанавливается, что и матрицы взаимно обратны.

Справедливо следующее утверждение о связи между матрицами

Утверждение. Матрица совпадает с матрицей а матрица совпадает с матрицей

Доказательство. Очевидно, силу взаимной обратности матриц и матриц достаточно доказать, что совпадают

В силу (6.3) получим, что

Аналогично с помощью (6.2) получим, что

Правые части соотношений (6.4) и (6.4) равны, поэтому что и требовалось.

Следствие. Для перехода от базисов к базисам достаточно знать только матрицу перехода от базиса к базису (матрица является обратной к и вычисляется по ней).

Таким образом, мы приходим к следующим формулам преобразования базисов:

Выведем теперь формулы преобразования координат вектора при переходе к новому базису. Сначала проведем следующие рассуждения.

Пусть — биортогональные базисы, а — произвольный вектор. Тогда разложения вектора а имеют вид

Биортогональный базис дает очень удобный способ вычисления коэффициентов в разложении (6.6). Действительно, умножая первое из соотношений (6.6) скалярно на а второе — на получаем

Следовательно, формулы (6.6) с учетом соотношений (6.7) принимают вид

В частности, представляя в первое равенство (6.8) вместо вектора а вектор , а во второе равенство — вектор получимся

где

Если умножить первое из соотношений (6.9) скалярно на а второе — на то

т. e. матрицы взаимно обратны и по своему построению в силу симметрии скалярного произведения симметричны.

Выведем формулы преобразования координат вектора при. переходе к новому базису. Если — старый базис, а — новый, — биортогональные к ним базисы и если

то, как мы знаем, из формул (6.7) следует, что

Подставляя в правую часть этого соотношения вместо его выражение из (6.5), получим

Итак, координаты вектора а, разложенного по базису (биортогональному к новому базису в новом базисе имеют вид

здесь матрица прямого перехода от старого базиса к новому базису координаты вектора а в разложении по биортогональному базису

Таким образом, координаты при переходе от старого базиса к новому преобразуются с помощью матрицы перехода от старого базиса к новому по формуле (6.10). Поэтому говорят, что координаты а; преобразуются «согласованно», и эти координаты называются ковариантными (что означает «согласованно изменяющийся») координатами вектора а.

Если теперь согласно формулам (6.7) записать

и подставить сюда вместо его выражение из (6.5), то

Из формулы (6.11) видно, что при переходе к новому базису координаты в разложении вектора а по старому базису преобразуются с помощью матрицы перехода от нового базиса к старому.

Поэтому говорят, что координаты преобразуются «несогласованно», и эти координаты называются контравариантными (что означает «противоположно изменяющийся») координатами вектора а.

1
Оглавление
email@scask.ru