§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ

1. Определения.

Обозначим через единичный куб в евклидовом пространстве

Под отображением куба в -мерную область будем понимать отображение в некоторой области содержащей внутри себя . Аналогично дифференциальной -формой , определенной в будем называть -форму, определенную в некоторой области содержащей .

Определение 1. Интегралом от -формы

определенной в кубе по кубу будем называть величину

Нашей ближайшей целью является определение интеграла от дифференциальной формы по любой поверхности. Естественно, что при этом степень формы будет совпадать с размерностью поверхности. Под поверхностью мы будем при этом понимать отображение единичного куба той же размерности помним, что понятие отображения включает в себя как область

значений, так и закон соответствия). Впрочем, иногда мы будем называть поверхностью только лишь образ куба.

Определение 2. Назовем -мерным сингулярным кубом в пространстве дифференцируемое отображение куба Таким образом, обозначая сингулярный куб через С, можно записать:

Будем говорить, что сингулярный куб С содержится в если

Теперь можно определить интеграл от любой -формы по любому -мерному сингулярному кубу

Определение 3. Интегралом от формы по сингулярному кубу содержащемуся в назовем величину

Убедимся в том, что интеграл от -формы по -мерному сингулярному кубу С зависит лишь от образа а не от закона соответствия .

Прежде всего рассмотрим подробнее определение интеграла от по сингулярному кубу С.

Пусть имеет вид тогда

В силу примера 2° п. 1 § 3 получаем

Следовательно,

Определение 4. Пусть — два сингулярных куба. Будем говорить, что если существует взаимно однозначное отображение куба на себя такое, что:

Ясно, что если то и так как обратное отображение будет удовлетворять необходимым требованиям.

Будем говорить, что если в условии 2) функциональный определитель всюду меньше нуля (очевидно, при этом Иногда в этом случае говорят, что отлича» ются ориентацией.

Справедливо следующее

Утверждение. Если то

Доказательство. Проведем доказательство для случая, когда

По определению

По условию существует отображение куба на себя, удовлетворяющее условиям 1) и 2). Сделаем в интеграле замену переменной Получим и

Аналогично можно показать, что если то