3. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенного ряда.

Теорема 2.16. Если — радиус сходимости степенного ряда (2.61), а х удовлетворяет условию то ряд (2.61)

можно почленно интегрировать на сегменте Полученный в результате почленного интегрирования ряд имеет тот же радиус сходимости что и исходный ряд.

Доказательство. Для любого х, удовлетворяющего условию найдется такое, что Согласно лемме ряд (2.61) сходится равномерно на сегменте а следовательно, и на сегменте Но тогда в силу теоремы 2.8 этот ряд можно почленно интегрировать на сегменте

В результате почленного интегрирования получится степенной ряд

радиус сходимости которого (согласно теореме 2.14) является величиной, обратной верхнему пределу последовательности

Так как верхний предел последовательности (2.64) тот же, что и у (2.62), то теорема доказана.

Теорема 2.17 Степенной ряд (2.61) внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно. Ряд, полученный почленным дифференцированием, имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Доказательство. Достаточно (в силу теоремы 2.9 и леммы) доказать лишь второе утверждение теоремы.

В результате почленного дифференцирования (2.61) получим ряд

радиус сходимости которого (согласно теореме 2.14) обратен верхнему пределу последовательности

Так как последовательность (2.65) имеет тот же верхний предел, что и то теорема доказана.

Следствие из теоремы 2.17. Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно сколько угодно раз. Ряд, полученный -кратным почленным дифференцированием исходного степенного ряда, имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.