Математический анализ. Продолжение курса

Ильин В. А. и др. Математический анализ. Продолжение курса / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. X. Сендов. Под ред. А. Н. Тихонова. — М.: Изд-во МГУ, 1987.— 358 с.

Учебник представляет собой вторую часть (ч. 1 — 1985 г.) курса математического анализа, написанного в соответствии с единой программой, принятой в СССР и НРБ. В книге рассмотрены теория числовых и функциональных рядов, теория кратных, криволинейных и поверхностных интегралов, теория поля (включая дифференциальные формы), теория интегралов, зависящих от параметра, и теория рядов и интегралов Фурье. Особенность книги — три четко отделяемых друг от друга уровня изложения: облегченный, основной и повышенный, что позволяет использовать ее как студентам технических вузов с углубленным изучением математического анализа, так и студентам механико-математических факультетов университетов.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 1. ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОГО РЯДА
2. Критерий Коши сходимости ряда.
§ 2. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
2. Признаки сравнения.
3. Признаки Даламбера и Коши.
4. Интегральный признак Коши—Маклорена.
5. Признак Раабе.
6. Отсутствие универсального ряда сравнения.
§ 3. АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ
2. О перестановке членов условно сходящегося ряда.
3. О перестановке членов абсолютно сходящегося ряда.
§ 4. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ
§ 5. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД СХОДЯЩИМИСЯ РЯДАМИ
§ 6. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
2. Связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов.
3. Разложение функции sin x в бесконечное произведение.
§ 7. ОБОБЩЕННЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
1. Метод Чезаро (метод средних арифметических).
2. Метод суммирования Пуассона—Абеля.
§ 8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ДВОЙНЫХ И ПОВТОРНЫХ РЯДОВ
Глава 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 1. ПОНЯТИЯ СХОДИМОСТИ В ТОЧКЕ и РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ НА МНОЖЕСТВЕ
2. Сходимость функциональной последовательности (функционального ряда) в точке и на множестве.
3. Равномерная сходимость на множестве.
4. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности (ряда).
§ 2. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ
§ 3. ПОЧЛЕННЫЙ ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ
§ 4. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ
2. Почленное дифференцирование.
3. Сходимость в среднем.
§ 5. РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИИ
§ 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
2. Непрерывность суммы степенного ряда.
3. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенного ряда.
§ 7. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.
3. Элементарные представления о функциях кемплексной переменной.
4. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами.
Глава 3. ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
2. Условия существования двойного интеграла для прямоугольника.
3. Определение и условия существования двойного интеграла для произвольной области.
4. Общее определение двойного интеграла.
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
§ 3. СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ ОДНОКРАТНОМУ
2. Случай произвольной области.
§ 4. ТРОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В n-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
§ 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ n-МЕРНЫХ ТЕЛ
§ 7. ТЕОРЕМА О ПОЧЛЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ
§ 8. КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2. Два признака сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций.
3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций.
4. Главное значение кратных несобственных интегралов.
Глава 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. ПОНЯТИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА
§ 2. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Глава 5. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. ПОНЯТИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЕЕ ПЛОЩАДИ
2. Вспомогательные леммы.
3. Площадь поверхности.
§ 2. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Глава 6. ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА
§ 1. ОБОЗНАЧЕНИЯ. БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ. ИНВАРИАНТЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
2. Биортогональные базисы в пространстве E^n.
3. Преобразования базисов. Ковариантные и контрвариантные координаты вектора.
4. Инварианты линейного оператора. Дивергенция и ротор.
5. Выражения для дивергенции и ротора линейного оператора в ортонормированном базисе.
§ 2. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
2. Дивергенция, ротор и производная по направлению векторного поля.
3. Некоторые другие формулы векторного анализа.
4. Заключительные замечания.
§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА
2. Формула Остроградского—Гаусса.
3. Формула Стокса.
§ 4. УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА НА ПЛОСКОСТИ ОТ ПУТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ
2. Выражение объема через поверхностный интеграл.
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
2. Билинейные формы.
3. Полилинейные формы.
4. Знакопеременные полилинейные формы.
5. Внешнее произведение знакопеременных форм.
6. Свойства внешнего произведения знакопеременных форм.
7. Базис в пространстве знакопеременных форм.
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
2. Внешний дифференциал.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
2. Свойства отображения.
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
2. Дифференцируемые цепи.
3. Формула Стокса.
4. Примеры.
Глава 7. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ
§ 1. РАВНОМЕРНОЕ ПО ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ СТРЕМЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ К ПРЕДЕЛУ ПО ДРУГОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
2. Критерий Коши равномерного стремления функции к предельной.
3. Применения понятия равномерного стремления к предельной функции.
§ 2. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
2. Случай, когда пределы интегрирования зависят от параметра.
§ 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
2. Несобственные интегралы второго рода, зависящие от параметра.
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА, К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
§ 5. ИНТЕГРАЛЫ ЭЙЛЕРА
2. В-функция.
3. Связь между эйлеровыми интегралами.
4. Примеры.
§ 6. ФОРМУЛА СТИРЛИНГА
§ 7. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ
2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра.
Глава 8. РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 1. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ И ОБЩИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
2. Понятие об общем ряде Фурье.
§ 2. ЗАМКНУТЫЕ И ПОЛНЫЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
§ 3. ЗАМКНУТОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЕ
2. Доказательство замкнутости тригонометрической системы.
3. Следствия замкнутости тригонометрической системы.
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ И ПОЧЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА ФУРЬЕ
2. Простейшие условия абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.
3. Простейшие условия почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье.
§ 5. БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ И УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ В ДАННОЙ ТОЧКЕ
2. Выражение для частичной суммы тригонометрического ряда Фурье.
3. Вспомогательные предложения.
4. Принцип локализации.
5. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье для функции из класса Гёльдера.
6. О сходимости тригонометрического ряда Фурье кусочно гёльдеровой функции.
7. Суммируемость тригонометрического ряда Фурье непрерывной функции методом средних арифметических.
8. Заключительные замечания.
§ 6. КРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
2. Модуль непрерывности и классы Гёльдера для функции N переменных.
3. Условия абсолютной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье.
Глава 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ
2. Основная теорема. Формула обращения.
3. Примеры.
§ 2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
§ 3. КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Математический анализ. Продолжение курса

Оглавление