Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Пусть степенной ряд (2.61) имеет радиус сходимости
Лемма. Каково бы ни было положительное число удовлетворяющее условию ряд (2.61) равномерно сходится на сегменте т. е. при
Доказательство. В силу теоремы 2.14 ряд (2.61) абсолютно сходится при т. е. сходится ряд
Но этот числовой ряд служит мажорантным для ряда (2.61) при всех х из сегмента На основании признака Вейерштрасса ряд (2.61) сходится равномерно на сегменте . Лемма доказана.
Следствие из леммы. В условиях леммы сумма ряда (2.61) является функцией, непрерывной на сегменте (в силу теоремы 2.7).
Теорема 2.15. Сумма степенного ряда внутри его промежутка сходимости является непрерывной функцией.
Доказательство. Пусть — сумма степенного ряда — его радиус сходимости. Фиксируем любое х внутри промежутка сходимости, т. е. такое, что Всегда найдется число такое, что . В силу следствия из леммы функция непрерывна на сегменте Следовательно, непрерывна и в точке х. Теорема доказана.
удовлетворяющее условию 
ряд (2.61) равномерно сходится на сегменте 
т. е. при 
т. е. сходится ряд
На основании признака Вейерштрасса ряд (2.61) сходится равномерно на сегменте 
. Лемма доказана.
(в силу теоремы 2.7).
— сумма степенного ряда 
— его радиус сходимости. Фиксируем любое х внутри промежутка сходимости, т. е. такое, что 
Всегда найдется число 
такое, что 
. В силу следствия из леммы функция 
непрерывна на сегменте 
Следовательно, 
непрерывна и в точке х. Теорема доказана.
