2. Вспомогательные леммы.

Лемма 1. Если Ф — гладкая поверхность и — не особая ее точка, то достаточно малая окрестность точки однозначно проектируется на касательную плоскость, проходящую через любую точку этой окрестности.

Доказательство. Пусть окрестность Ф точки такова, что: 1) нормаль в пределах этой окрестности составляет с нормалью в точке угол, меньший окрестность Ф однозначно проектируется на некоторый круг в одной из координатных плоскостей (например, Возможность выбора такой окрестности Ф вытекает из того, что в предыдущем пункте было установлено существование окрестности рассматриваемой точки обладающей двумя свойствами: 1) в этой окрестности существует

непрерывное векторное поле нормалей; 2) эта окрестность однозначно проектируется на одну из координатных плоскостей (очевидно, в этой окрестности есть часть, проектирующаяся на некоторый круг в координатной плоскости).

Отметим, что любые две нормали к точкам Ф составляют угол, меньший

Предположим, что рассматриваемая окрестность Ф не проектируется однозначно на касательную плоскость, проходящую через некоторую точку Тогда в этой окрестности найдутся две точки Р и такие, что хорда параллельна нормали к в точке М. Рассмотрим линию пересечения Ф с плоскостью, параллельной оси и проходящей через хорду (предполагаем, что Ф однозначно проектируется на плоскость На этой линии в силу теоремы Лагранжа найдется точка касательная к которой параллельна хорде а поэтому параллельна нормали в точке М. Это означает, что нормали в точках М и составляют угол что противоречит выбору Ф. Полученное противоречие убеждает нас в справедливости леммы. Лемма доказана.

Будем говорить, что участок поверхности имеет размеры меньше если он лежит внутри некоторого шара радиуса 6/2.

Лемма 2. Для гладкой ограниченной полной поверхности Ф без особых точек найдется число такое, что любой участок Ф, размеры которого меньше 6, однозначно проектируется а) на одну из координатных плоскостей, б) на касательную плоскость, проходящую через любую точку этого участка.

Доказательство. Выше, в замечании 2 и в лемме 1, мы доказали, что для каждой точки поверхности Ф найдется достаточно малая окрестность Ф, которая однозначно проектируется а) на одну из координатных плоскостей, б) на касательную плоскость, проходящую через любую точку Ф.

Предположим, что утверждение леммы неверно, т. е. не найдется числа указанного в формулировке леммы. Тогда для любого найдется участок имеющий размеры меньше и не проектирующийся однозначно либо на одну координатных плоскостей, либо на касательную плоскость, проходящую через некоторую точку Выберем в каждой части точку и выделим из последовательности точек ограниченной полной поверхности Ф подпоследовательность сходящуюся к некоторой точке

В силу замечания 2 и леммы 1 найдется достаточно малая окрестность Ф точки которая однозначно проектируется на одну из координатных плоскостей и на касательную плоскость,

проходящую через любую точку Ф. Все начиная с некоторого номера попадут внутрь Ф, а это противоречит выбору частей Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть Ф — гладкая без особых точек двусторонняя полная ограниченная поверхность, определяемая уравнениями (5.1). Тогда для любого найдется такое, что для каждого участка поверхности Ф, имеющего размеры меньше угол у между двумя любыми нормалями к точкам этого участка удовлетворяет условию

где

Доказательство. Поверхность Ф двусторонняя, поэтому поле нормалей непрерывно, а следовательно, и равномерно непрерывно на всей поверхности Ф. Это означает, что для любого найдется такое, что для любых двух точек для которых справедливо неравенство

— вектор единичной нормали).

Так как

а величина

то

и для в силу (5.8) справедливы неравенства

Лемма доказана.