7. Базис в пространстве знакопеременных форм.

Выберем какой-либо базис в пространстве V и обозначим через сопряженный к нему базис в пространстве Напомним, что — линейная форма, которая на элементах базиса принимает значение

3 мы показали, что всевозможные произведения

образуют базис в Поскольку то каждая знакопеременная -форма может быть разложена единственным образом в линейную комбинацию указанных произведений. Однако эти произведения не образуют базиса в поскольку они не являются знакопеременными -формами, т. е. не принадлежат Тем не менее с помощью внешнего умножения из них можно сконструировать базис в

Теорема 6.6. Пусть — базис в пространстве V, — сопряженный базис в пространстве Любая знапеременная

попеременная -форма может быть представлена, и притом единственным образом, в виде

Каждое слагаемое суммы в правой части (6.1.13) представляет собой произведение постоянной на знакопеременную -форму

Доказательство. В силу результатов можно записать:

где числа определены однозначно.

Так как форма знакопеременна, то для любой перестановки

Следовательно,

Сгруппируем слагаемые в сумме (6.1.14), отличающиеся перестановкой индексов и воспользуемся равенством (6.1.15). Получим

В силу примера из сумма, стоящая в квадратных скобках, есть Теорема доказана.

Следствие 1. Элементы базис в пространстве Этот базис пуст для и состоит из одного элемента, если

Следствие 2. Размерность пространства равна

В дальнейшем, как правило, мы будем считать, что выбранный базис нами зафиксирован, и линейные формы будем обозначать символом Тогда любая форма примет вид

Примеры. Г.

где коэффициент в разложении вектора по базису

где