§ 5. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД СХОДЯЩИМИСЯ РЯДАМИ

В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о возможности почленного сложения и перемножения сходящихся рядов.

Теорема 1.14. Если два ряда сходятся и имеют суммы, соответственно равные и V, то и ряд сходится и имеет сумму, равную

Доказательство. Обозначим частичные суммы рядом соответственно через

Тогда, очевидно, Так как , то согласно теоремам 3.9 и существует предел . Теорема доказана.

Таким образом, любые сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать. Переходя к вопросу о возможности почленного перемножения рядов, докажем следующее утверждение.

Теорема 1.15. Если два ряда сходятся абсолютно и имеют суммы, соответственно равные и V, то ряд, составленный из всех произведений вида занумерованных в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна

Доказательство. Обозначим через произведения вида занумерованные в каком угодно порядке. Докажем, что ряд сходится.

Пусть частичная сумма этого ряда. Сумма состоит из членов вида Среди индексов и I таких членов, входящих в сумму найдем наибольший индекс, который мы обозначим через . Тогда

В правой части неравенства (1.89) стоит произведение часточных сумм рядов . В силу сходимости указанных рядов с неотрицательными членами все их частичные суммы (а следовательно, и их произведение) ограничены. Поэтому ограничена и последовательность частичных сумм а это доназывает сходимость ряда т. е. абсолютную сходимость

Остается доказать, что последний ряд имеет сумму равную Так как этот ряд сходится абсолютно, то в силу теоремы 1.11 его сумма не зависит от порядка, в котором мы его суммируем. Какую бы мы ни взяли последовательность (или подпоследовательность частичных сумм этого ряда, она сходится к числу Но в таком случае сумма ряда заведомо на так как именно к этому числу сходится подпоследовательность частичных сумм этого ряда вида

Теорема доказана.

Произведение рядов для многих целей удобно записывать в специальном виде:

Теорема 1.16 (теорема Мертенса Ряд, полученный ремножением двух рядов указанным специальным способом, сходится к произведению сумм перемножаемых рядов в случае, когда один из перемножаемых рядов сходится абсолютно, а другой — сходится хотя бы условно.

Пусть, например, ряд сходится абсолютно, а ряд сходится хотя бы условно. Обозначим частичные суммы указанных рядов соответственно через а их суммы соответственно через и V. Положим

Достаточно доказать, что Элементарно проверяется, что

В силу сходимости ряда его остаток является бесконечно малой, а следовательно, и ограниченной последовательностью, т. е. существует постоянная М такая, что для всех номеров Заметим, что

где

Так как то достаточно доказать, что последовательность является бесконечно малой. Так как ряд сходится абсолютно, то, фиксировав произвольное найдем для него такой номер что Кроме того, можно утверждать существование постоянной такой, что для любого номера

Представив теперь в виде суммы двух сумм

и выбрав по найденному номеру номер настолько большим

что при (это можно сделать в силу бесконечной малости с помощью четырех неравенств

убедимся в том, что при каждая квадратная скобка в выражении для по модулю меньше числа Отсюда следует, что при . В силу произвольности сформулированное утверждение доказано.

Замечание. В случае, если ряды оба сходятся только условно, почленное перемножение этих рядов даже указанным специальным способом приводит, вообще говоря, к расходящемуся ряду.

Достаточно в качестве каждого из рядов взять условно сходящийся (по признаку Лейбница) ряд и убедиться в том, что для таких рядов определенные выше величины имеют вид

Так как в фигурных скобках стоит положительных слагаемых, каждое из которых не меньше числа то а это означает, что нарушено необходимое условие сходимости ряда — стремление к нулю его члена.