§ 7. ТЕОРЕМА О ПОЧЛЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ

В § 4 гл. 2 была доказана теорема 2.8 о почленном интегрировании функциональной последовательности на сегменте числовой прямой. Аналогичная теорема имеет место и для случая, когда функциональная последовательность определена и интегрируема в некоторой области пространства

Теорема 3.9. Пусть D — некоторая ограниченная замкнутая кубируемая область в . Если функциональная последовательность сходится к предельной функции равномерно в D и если каждая функция интегрируема в области D, то и предельная функция интегрируема в этой области, причем указанную последовательность можно интегрировать в области D почленно, т. е.

Доказательство. Фиксируем произвольное Как и при доказательстве теоремы 2.8, для доказательства интегрируемости в области D достаточно доказать, что найдется номер такой, что для любого разбиения области D верхняя сумма и нижняя сумма предельной функции и верхняя сумма и нижняя сумма интегрируемой в D функции связаны неравенством

Рассмотрим произвольное разбиение области D при помощи конечного числа произвольных многообразий -мерного объема нуль на конечное число частичных областей произвольной формы, не имеющих общих внутренних точек. Обозначим символом колебание функции в области

а символом колебание в предельной функции

Докажем, что для любого достаточно большого номера справедливы неравенства

где — -мерный объем области Умножая затем (3.58) на объем частичной области и суммируя получающиеся при этом неравенства по всем получим неравенство (3.57).

Для любого номера и любых двух точек области справедливо тождество

В силу равномерной на D сходимости последовательности к функции для фиксированного нами произвольного найдется номер такой, что для всех точек х области D

Применяя к правой части (3.59) неравенство (3.60), взятое для точек получим

Из неравенства (3.61) получаем

откуда, как и в случае теоремы 2.8, следует доказываемое неравенство (3.58). Таким образом, доказательство интегрируемости предельной функции в области D завершено.

Утверждение о возможности почленного интегрирования последовательности следует из оценки (3.60), справедливой для всех точек и из отмеченного в § 4 факта: значение интеграла равно -мерному объему области Теорема 3.9 доказана.

Приведем формулировку теоремы 3.9 в терминах функциональных рядов:

Теорема 3.9. Если функциональный ряд

сходится к своей сумме равномерно на некоторой ограниченной замкнутой кубируемой области и если каждый член

этого ряда представляет собой функцию, интегрируемую в области D, то и сумма интегрируема в области D, причем указанный ряд можно интегрировать на множестве D почленно т. е.