ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ

1. Линейные формы.

Пусть V — произвольное -мерное векторное пространство, элементы которого будем обозначать символами Предметом нашего изучения будут функции, сопоставляющие каждому элементу некоторое вещественное число.

Определение 1. Функция называется линейной формой, если для любых и любого вещественного числа X выполняются равенства

Определение 2. Суммой двух линейных форм а и назовем линейную форму с, которая каждому вектору сопоставляет число

Произведением линейной формы а на вещественное число назовем линейную форму которая каждому вектору сопоставляет число

Таким образом, множество всех линейных форм образует векторное пространство, которое мы обозначим символом Найдем представление линейной формы а в каком-либо базисе Пусть

где числа определяются однозначно. Если обозначить то искомое представление будет иметь вид

Докажем, что размерность линейного пространства равна Для этого достаточно указать какой-либо

базис в содержащий точно элементов, т. е. линейных форм. Фиксируем произвольный базис пространства V и рассмотрим линейные формы

где -коэффициенты разложения вектора по элементам базиса Иначе говоря, линейная форма действует на элементы базиса по правилу

В таком случае в данном базисе линейная форма а имеет вид

т. е. линейные формы образуют базис в Этот базис называют сопряженным (а также взаимным или дуальным) к базису