§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА

В этом параграфе будут доказаны основные интегральные формулы анализа — формула Грина, формула Остроградского—Гаусса и формула Эти формулы, с одной стороны, являются далеко идущими обобщениями формулы Ньютона—Лейбница — основной формулы интегрального исчисления, а с другой стороны, являются важнейшими формулами математического анализа и математической физики.

1. Формула Грина.

Пусть — плоскость в пространстве — единичный вектор нормали к — односвязная область на (напомним, что область D называется односвязной, если любая кусочно гладкая замкнутая без самопересечений кривая, расположенная в D, ограничивает область, все точки которой также принадлежат . Пусть, далее, область D удовлетворяет следующим двум условиям:

1) граница С области D является замкнутой кусочно гладкой кривой без особых точек;

2) на плоскости можно выбрать такую декартову прямоугольную систему координат, что все прямые, параллельные координатным осям, пересекают С не более чем в двух точках.

Пусть, наконец, — единичный вектор касательной к кривой С, согласованный с к, т. е. положительное направление обхода кривой С совпадает в точке приложения вектора с направлением этого вектора, и если смотреть с конца нормали к, то контур С ориентирован положительно (его обход осуществляется против часовой стрелки). Говорят, что ориентация кривой С согласована с нормалью «по правилу штопора».

Теорема 6.1 (формула Грина). Пусть а — векторное поле, дифференцируемое в области D, удовлетворяющей условиям 1), 2), и такое, что его производная по любому направлению непрерывна в объединении Тогда справедлива формула

Выражение справа обычно называют циркуляцией векторного поля а по кривой С, а выражение слева — потоком векторного поля а через область D.

Данная формула допускает такую физическую трактовку: поток векторного поля через область D (поток тепла, жидкости и т. п.) равняется циркуляции векторного поля а по замкнутому контуру С (работе сил поля а по перемещению точки вдоль С).

Доказательство. Поскольку все входящие в формулу (6.25) функции непрерывны, то оба интеграла существуют.

Заметим также, что интегралы слева и справа в формуле (6.25) инвариантны относительно выбора прямоугольной системы координат, поскольку величины инвариантны, элементы площади и длины дуги не зависят от выбора декартовой системы координат. Поэтому достаточно доказать формулу (6.25) в какой-то одной специально выбранной системе.

Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы выполнялось условие 2), и ось направим вдоль к. Поскольку векторное поле плоское, то

Следовательно, можно записать:

Далее,

Так как для плоской области то формула (6.25) принимает вид

Здесь мы воспользовались тем, что где — длина дуги С, выбранная в качестве параметра, возрастание которого согласовано с направлением обхода С.

Для доказательства формулы Грина достаточно доказать два. равенства:

Обратимся для наглядности к рис. 6.1. Пусть прямая, параллельная оси пересекает С в точках — наименьшая и наибольшая абсциссы точек области кривая соединяет точку с точкой а кривая — точку с точкой ориентированы согласованно с С.

Рис. 6.1

Тогда по формуле сведения двойного интеграла к повторному получим

Аналогично вычисляется интеграл Теорема доказана.

Замечание 1. Теорема 6.1 справедлива и для более общих областей D (с границей С) таких, что с помощью конечного числа кусочно гладких кривых эта область может быть разбита на конечное число областей с границами удовлетворяющих условиям 1) и 2). Действительно, для каждой области по доказанному формула верна. Сложив эти равенства, силу аддитивности двойного интеграла слева можно заменить на а справа поскольку интегралы по «внутренним» кривым сократятся (так как интегрирование по ним производится в противоположных направлениях). Останется лишь интеграл по границе С области D.

Замечание 2. В формулировке теоремы 6.1 от условия 2) можно избавиться, т. е. считать, что граница области D есть любая замкнутая кусочно гладкая кривая С без особых точек. Однако доказательство теоремы несколько усложняется.

Замечание 3. Условие на гладкость векторного поля можно также несколько ослабить Достаточно требовать, чтобы поле а было непрерывно в , а дифференцируемо только в D, и производная по любому направлению была непрерывна в D. Формула (6.25) при этом сохраняется, однако входящий в нее двойной интеграл является при этом, вообще говоря, несобственным.

Замечание 4. Теорема 6.1, т. е. формула Грина, верна и в общем случае областей D с границей С, являющейся только спрямленной кривой 12).

Замечание 5. Формула Грина (6.25) может быть записана, как это следует из доказательства, в виде (6.25):

Интегралы слева и справа имеют инвариантный характер, т. е. их значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе координат. Действительно, значения подынтегральных выражений слева и справа в формуле (6.25) равны соответственно — инвариантным величинам. Форма подынтегральных выражений в формуле (6.25) тоже, очевидно, не меняется при переходе к новой декартовой системе координат если в новом базисе векторное поле а имеет координаты то

Наконец, якобиан преобразования при переходе к новой системе координат по модулю равен единице, а параметризация с помощью длины дуги не связана с системой координат. Поэтому интегралы слева и справа в (6.25) не меняют своего значения и формы.