§ 2. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

1. Свойства интеграла, зависящего от параметра.

Пусть функция двух переменных определена для х, принадлежащих сегменту и для у, принадлежащих некоторому множеству Допустим, что при каждом фиксированном у из У функция интегрируема по Тогда на множестве У определена функция

называемая интегралом, зависящим от параметра у.

Изучим свойства интеграла, зависящего от параметра. Заметим сначала, что согласно утверждению 2 из § 1, если функция стремится равномерно на к функции при то в интеграле (7.1) можно сделать предельный переход под знаком интеграла.

Теорема 7.2 (о непрерывности интеграла по параметру). Пусть функция непрерывна на прямоугольнике Тогда интеграл является непрерывной функцией параметра у на

Доказательство. В силу утверждения 6 § 1 функция стремится равномерно на к функции при Следовательно, как было отмечено выше, можно сделать предельный переход под знаком интеграла:

что и требовалось.

Теорема 7.3 (об интегрировании интеграла по параметру). Если функция непрерывна в прямоугольнике то функция интегрируема на сегменте Кроме того, справедлива формула

Иными словами, в условиях теоремы интеграл, зависящий от параметра, можно интегрировать по параметру под знаком интеграла.

Доказательство. Согласно предыдущей теореме 7.2 функция непрерывна на Поэтому она интегрируема на этом сегменте. Справедливость формулы следует из равенства повторных интегралов, поскольку оба они равны двойному интегралу (см. гл. 3). Теорема доказана,

Теорема 7.4 (о дифференцируемости интеграла по параметру). Пусть функция непрерывна на прямоугольнике П и имеет на нем непрерывную производную Тогда определяемая равенством (7.1) функция дифференцируема на и

Иными словами, в условиях теоремы можно дифференцировать под знаком интеграла.

Доказательство. Рассмотрим получаемое из формулы Лагранжа соотношение

где Заметим, что стремится равномерно на при

Следовательно, при допустим предельный переход под знаком интеграла в соотношении

Отсюда и получаем формулу (7.2). Теорема доказана.