4. Принцип локализации.

В этом пункте мы докажем, что вопрос о том, сходится или расходится тригонометрический ряд Фурье кусочно непрерывной на сегменте и периодической периодом функции в данной точке х, решается лишь на основании поведения функции в как угодно малой окрестности точки х. Это замечательное свойство тригонометрического ряда Фурье принято называть принципом локализации. Начнем с доказательства важной леммы.

Лемма (лемма Римана). Если функция кусочно непрерывна на сегменте и периодически (с периодом продолжена

должена на всю прямую и если эта функция обращается в нуль на некотором сегменте то для любого положительного числа меньшего тригонометрический ряд Фурье функции равномерно на сегменте сходится к нулю. Доказательство. Пусть — произвольное положительное число, меньшее - Частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции в произвольной точке х числовой прямой определяется равенством (8.55). Полагая

и учитывая, что равняется нулю при условии, что х принадлежит сегменту принадлежит сегменту можно следующим образом переписать равенство (8.55) для каждой точки х сегмента

Остается принять во внимание, что последовательность, стоящая в правой части последнего равенства, в силу следствия сходится к нулю равномерно относительно х на всей числовой прямой. Лемма доказана.

Непосредственными следствиями доказанной леммы являются следующие две теоремы.

Теорема 8.11. Пусть функция кусочно непрерывна на сегменте и периодически (с Периодом продолжена на всю прямую, и пусть — некоторый сегмент. Для того чтобы тригонометрический ряд Фурье функции при любом положительном меньшем сходился (к этой функции)

равномерно на сегменте достаточно, чтобы существовала кусочно непрерывная на сегменте и периодическая (с периодом функция обладающая равномерно сходящимся на сегменте тригонометрическим рядом Фурье и совпадающая на сегменте с функцией

Доказательство. Применяя лемму Римана к разности получим, что тригонометрический ряд Фурье разности при любом из интервала сходится к нулю равномерно на сегменте а отсюда и из равномерной на сегменте сходимости тригонометрического ряда Фурье функции вытекает равномерная на сегменте [а сходимость тригонометрического ряда Фурье функции Тот факт, что последний ряд сходится на сегменте именно к функции непосредственно вытекает из следствия § 3. Теорема доказана.

Теорема 8.12. Пусть функция кусочно непрерывна на сегменте и периодически (с периодом продолжена на всю прямую, и пусть — некоторая точка прямой. Для того чтобы тригонометрический ряд Фурье функции сходился в точке достаточно, чтобы существовала кусочно непрерывная на сегменте и периодическая (с периодом функция обладающая сходящимся в точке тригонометрическим рядом Фурье и совпадающая с в как угодно малой -окрестности точки

Доказательство. Достаточно применить лемму Римана к разности по сегменту и учесть что из сходимости в точке тригонометрических рядов функций вытекает сходимость в этой точке и тригонометрического ряда Фурье функции Теорема доказана.

Теорема 8.12 не устанавливает конкретного вида условий, обеспечивающих сходимость тригонометрического ряда Фурье функции в точке Она лишь доказывает, что эти условия определяются только поведением в как угодно малой окрестности точки (т. е. имеют локальный характер).