§ 7. ОБОБЩЕННЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Во всей гл. 1 мы называли суммой ряда

предел последовательности частичных сумм этого ряда (при условии, что этот предел существует).

В ряде задач математического анализа, представляющих как теоретический, так и практический интерес, приходится оперировать с рядами, у которых последовательность частичных сумм не сходится и сумма в указанном выше обычном смысле не существует. Естественно, возникает вопрос об обобщении понятия суммы ряда и о суммировании расходящегося в обычном смысле ряда (1.117) с помощью каких-либо обобщенных методов. В настоящем параграфе мы и остановимся на некоторых обобщенных методах суммирования расходящихся рядов.

Прежде всего дадим общую характеристику тем методам суммирования, которые будут рассматриваться. Разумно требовать, чтобы обобщенное понятие суммы включало в себя обычное понятие суммы. Точнее, ряд, сходящийся в обычном смысле и имеющий обычную сумму должен иметь обобщенную сумму, и притом также равную Метод суммирования, обладающий указанным свойством, называется регулярным.

Далее естественно подчинить понятие обобщенной суммы следующему условию: если ряд имеет обобщенную сумму а ряд имеет обобщенную сумму V, то ряд , где А и В — любые постоянные, имеет обобщенную сумму Метод суммирования, удовлетворяющий указанному условию, называется линейным, В анализе и в его приложениях, как правило, имеют дело лишь с регулярными линейными методами суммирования. Остановимся на двух

методах обобщенного суммирования, представляющих особый интерес для приложений.