2. Метод суммирования Пуассона—Абеля.

По данному ряду (1.117) составим степенной ряд

Если этот ряд сходится для всех х из интервала и если его сумма имеет левое предельное значение в точке то говорят, что ряд (1.117) суммируем методом Пуассона—Абеля. При этом указанное предельное значение называется суммой ряда (1.117) в смысле Пуассона-Абеля.

Линейность метода Пуассона—Абеля не вызывает сомнений. Докажем регулярность этого метода. Пусть ряд (1.117) сходится в обычном смысле и имеет сумму, равную Требуется доказать что: 1) ряд (1.120) сходится для любого х из интервала сумма ряда (1.120) имеет в точке левое предельное значение, равное 5.

Докажем сначала утверждение 1). Так как ряд (1.117) сходится, то последовательность его членов является бесконечно малой и, следовательно, ограниченной, т. е. найдется такое число М, что для всех номеров

Используя это неравенство, оценим модуль члена ряда (1.120), считая, что любое число из интервала Получим

Так как то ряд сходится. Поэтому в силу замечания 2 к теореме сравнения 1.3 сходится и ряд (1.120).

Докажем теперь утверждение 2). Пусть частичная сумма ряда (1.117), его обычная сумма. С помощью преобразования Абеля легко убедиться в том, что для любого х из интервала справедливо тождество

Вычтем тождество (1.122) из следующего очевидного тождества:

При этом, обозначая через остаток ряда (1.117), будем иметь

или

Наша цель — доказать, что для любого найдется такое, что левая часть (1.123) меньше для всех х, удовлетворяющих неравенствам Так как остаток ряда (1.117) стремится к нулю при то для положительного числа найдется номер такой, что при Таким образом,

Остается доказать, что для х, достаточно близких к единице,

но это очевидно, так как сумма, стоящая в последнем неравенстве, ограничена. Регулярность метода Пуассона—Абеля доказана.

В качестве примера снова рассмотрим расходящийся ряд

Для этого ряда составим степенной ряд вида (1.120)

Очевидно, что последний ряд сходится для всех х из интервала и имеет сумму, равную Так как

то ряд (1.124) суммируем методом Пуассона — Абеля и его сумма в смысле Пуассона—Абеля равна 1/2.

Обратим внимание на то, что сумма ряда (1.124) в смысле Пуассона — Абеля совпадает с его суммой в смысле Чезаро. Этот факт не является случайным: можно доказать, что если ряд суммируем методом Чезаро, то он суммируем и методом Пуассона — Абеля, причем сумма этого ряда в смысле Чезаро совпадает с его суммой в смысле Пуассона—Абеля. Более того, существуют ряды, суммируемые методом Пуассона—Абеля, но не суммируемые методом Чезаро. Детальное изучение всевозможных методов обобщенного суммирования расходящихся рядов проводится в монографии Г. Харди «Расходящиеся ряды» (М.: ИЛ, 1951).