3. Формула Стокса.

Пусть — односвязная поверхность в удовлетворяющая двум условиям:

1) -кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная поверхность без особых точек; ее границей является замкнутый кусочно гладкий контур С;

2) декартову систему координат можно выбрать так, чтобы однозначно проектировалась на любую из трех координатных плоскостей.

Пусть — единичный вектор нормали к -единичный вектор касательной к С, согласованный с (см. При этих условиях имеет место следующая теорема.

Теорема 6.3 (формула Стокса). Пусть а — векторное поле, непрерывно дифференцируемое в некоторой окрестности поверхности (т. е. на некотором открытом множестве в содержащем Тогда справедлива формула

Эта теорема допускает еще такую формулировку:

Поток вектора через поверхность равен циркуляции вектора а по замкнутому контуру С.

Доказательство. В силу условий теоремы интегралы в формуле (6.27) существуют. Формула (6.27), очевидно, инвариантна относительно выбора базиса. Поэтому достаточно доказать, эту формулу при каком-то одном выборе базиса. Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы однозначно проектировалась на все три координатные плоскости Пусть

Согласуем выбор системы координат так, чтобы вектор нормали образовывал острые углы с координатными осями.

Учитывая выражение для в декартовой прямоугольной системе координат, получим

Достаточно, очевидно, доказать, что

Для остальных слагаемых:

доказательство аналогичное.

Рис. 6.3

Заметим, что поверхность — кусочно гладкая и однозначно проектируется на Пусть D — ее проекция, Г — проекция С на плоскость (см. рис. 6.3). Поэтому существует дифференцируемая функция которая задает уравнение поверхности При этом

Аналогично

Поэтому, учитывая эти формулы, будем иметь

поскольку на поверхности функция равна

и поверхностный интеграл по равен двойному интегралу по

Далее, используя формулу Грина, получим

Здесь мы воспользовались тем, что если точка находится на кривой Г, то точка очевидно, принадлежит кривой С. Теорема доказана.

Формула Стокса верна и для более общих ограниченных полных кусочно гладких двусторонних поверхностей с кусочно гладкой границей.

Замечание 1. Прежде всего покажем, что формула Стокса верна для поверхностей удовлетворяющих условию 1), но не удовлетворяющих, вообще говоря, условию 2) однозначного проектирования на любую из координатных плоскостей.

Оказывается, что существует такое число что для любой части Ф поверхности размера меньше можно так выбрать декартову координатную систему, что Ф однозначно проектируется на все координатные плоскости. Действительно, пусть — фиксированная точка Проведем касательную плоскость через точку пусть — вектор единичной нормали поверхности в точке . Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы вектор составлял острые углы с осями координат. Поскольку поле нормалей непрерывно, то существует окрестность точки такая, что все нормали в точках этой окрестности образуют острые углы с осями координат. Но тогда согласно утверждению гл. 5 и замечанию 2 к нему можно утверждать, что существует некоторая окрестность радиуса 6/2 точки которая однозначно проектируется на все координатные плоскости.

Отметим, что указанное число зависит, вообще говоря, от точки . Покажем, что можно выбрать универсальное, не зависящее от точки число Допустим противное, что такого числа не существует. Тогда для каждого можно указать часть поверхности размеры которой

меньше и которая не проектируется однозначно на все три координатные плоскости любой декартовой системы координат.

Выберем в каждой части точку а из полученной последовательности выберем последовательность, сходящуюся к некоторой точке М поверхности Согласно проведенным выше рассуждениям у точки М существует однозначно проектируемая на координатные плоскости некоторой прямоугольной системы окрестность. Эта окрестность для некоторого номера содержит часть которая также будет однозначно проектироваться на все три координатные плоскости. Получилось противоречие с выбором завершающее доказательство.

Теперь уже нетрудно сделать заключение о справедливости формулы Стокса для поверхностей, удовлетворяющих условию 1) и не удовлетворяющих, вообще говоря, условию 2). Для этого разобьем поверхность на конечное число гладких частей размер каждой из которых меньше указанного выше. Поскольку часть однозначно проектируется на все координатные плоскости некоторой декартовой системы координат, то формула Стокса верна для каждой части Просуммируем левые и правые части этих формул. Интегралы по общим участкам границы берутся в противоположных направлениях и поэтому сократятся.

Таким образом, слева мы получим интеграл по поверхности от величины , а справа — интеграл по границе С поверхности от величины т. е. формулу Стокса для общего случая.

Замечание 2. Формула Стокса верна и для поверхностей допускающих разбиение с помощью кусочно гладких кривых на конечное число односвязных, обладающих свойством 1) поверхностей. Доказательство этого факта очевидно: достаточно просуммировать интегралы слева и справа в формулах Стокса для односвязных поверхностей и учесть, что интегралы по кривым, входящим в разбиение, берутся в разных направлениях и поэтому сократятся.

Замечание 3. Формула Стокса (6.27) может быть записана, как это следует из доказательства, в виде (6.27):

Интегралы слева и справа имеют инвариантный характер — их значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе координат. Чтобы убедиться в этом, достаточно провести рассуждения, аналогичные проведенным в замечании 5 п. 1.