3. О перестановке членов абсолютно сходящегося ряда.
В предыдущем пункте мы доказали, что условно сходящийся ряд не обладает переместительным свойством. Докажем, что для всякого абсолютно сходящегося ряда справедливо переместительное свойство.
Теорема 1.11 (теорема Коши). Если данный ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из данного посредством некоторой перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и данный ряд.
Доказательство. Пусть ряд
сходится абсолютно и сумма ряда равна 
Пусть, далее,
ряд, полученный из ряда (1.64) посредством некоторой перестановки членов. Требуется доказать, что: 1) ряд (1.65) сходится и имеет сумму, равную 
ряд (1.65) сходится абсолютно. Докажем сначала 1). Достаточно доказать, что для любого 
найдется номер 
такой, что при 
Фиксируем произвольное 
Так как ряд (1.64) сходится абсолютно и имеет сумму, равную 
то для выбранного 
можно указать номер 
такой, что будут справедливы неравенства
и
Выберем теперь номер 
столь большим, чтобы любая частичная сумма 
ряда (1.65) с номером 
превосходящим 
содержала все первые 
членов ряда (1.64) 12).
Оценим разность, стоящую в левой части (1.66), и докажем, что при 
для этой разности справедливо неравенство (1.66). В самом деле, указанную разность можно представить в виде
Так как модуль суммы двух величин не превосходит суммы их модулей, то из (1.69) получим
Из неравенств (1.68) и (1.70) очевидно, что для доказательства неравенства (1.66) достаточно доказать, что при 
Для доказательства неравенства (1.71) заметим, что при 
первая из сумм, стоящих в его левой части, содержит все 
первых членов ряда (1.64), Вследствие этого разность
представляет собой сумму 
членов ряда (1.64) с номерами, каждый из которых превосходит 
Если выбрать натуральное 
столь большим, чтобы номер 
превосходил номера всех 
членов только что указанной суммы, то для разности (1.72) во всяком случае справедливо неравенство
Из неравенств (1.73) и (1.67) вытекает неравенство (1.71). Тем самым доказано неравенство (1.66), т. е. доказано, что ряд (1.65) сходится и имеет сумму, равную 
Остается доказать утверждение 2) о том, что ряд (1.65) сходится абсолютно. Доказательство этого утверждения следует из утверждения 1), если его применить к рядам
При этом мы докажем сходимость второго из рядов (1.74), т. е. докажем абсолютную сходимость ряда (1.65). Теорема 1.11 полностью доказана.
