§ 6. КРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

1. Понятия кратного тригонометрического ряда Фурье и его прямоугольных и сферических частичных сумм.

Пусть функция переменных определена и интегрируема в -мерном кубе обозначим этот куб символом П. Кратный тригонометрический ряд такой функции удобно записывать сразу в комплексной форме, используя для сокращения записи понятие скалярного произведения двух А-мерных векторов.

Пусть — вектор с произвольными вещественными координатами по, — вектор с целочисленными координатами

Кратным тригонометрическим рядом Фурье функции называется ряд вида

в котором числа называемые коэффициентами Фурье, определяются равенствами

а символ обозначает скалярное произведение векторов равное

Конечно, кратный тригонометрический ряд Фурье (8.88) можно рассматривать как ряд Фурье по ортонормированной (в N-мерном кубе П) системе, образованной с помощью всевозможных произведений элементов одномерных тригонометрических систем, взятых от переменных соответственно. Эту ортонормированную систему принято называть кратной тригонометрической системой.

Как и для всякой ортонормированной системы, для кратной тригонометрической системы справедливо неравенство Бесселя, которое имеет вид

где — любая непрерывная в -мерном кубе П функция.

Рассмотрим вопрос о сходимости тригонометрического ряда Фурье. Если этот ряд не сходится в данной точке абсолютно, то вопрос о его сходимости (в силу теоремы Римана 1.10) зависит от порядка следования его членов (или, что то же самое, от порядка суммирования по индексам

Широко распространены два способа суммирования кратного тригонометрического ряда Фурье — сферический и прямоугольный.

Сферическими частичными суммами кратного тригонометрического ряда Фурье (8.88) называются суммы вида

взятые по всем целочисленным значениям удовлетворяющими условию

Говорят, что кратный тригонометрический ряд Фурье (8.88) суммируем в данной точке х сферическим методом, если в этой точке существует предел

Прямоугольными частичными суммами крат ного тригонометрического ряда Фурье (8.88) называются суммы вида

Говорят, что кратный тригонометрический ряд Фурье (8.88) суммируем в данной точке х прямоугольным методом (или методом Принсгейма)), если в этой точке существует предел

(при независимом стремлении к бесконечности каждого индекса

Оба метода суммирования имеют свои преимущества и свои недостатки. При рассмотрении кратного тригонометрического ряда Фурье как ряда Фурье по ортонормированной системе естественно располагать его члены в порядке возрастания и иметь дело со сферическими частичными суммами.

Прямоугольные частичные суммы применяются при исследовании поведения кратных степенных рядов около границы области сходимости. Следует отметить, что определение суммы ряда как предела прямоугольных сумм (в противоположность определению, опирающемуся на предел сферических сумм) не накладывает никаких ограничений на бесконечное множество частичных сумм этого ряда.

Прежде чем формулировать условия сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье, определим некоторые характеристики гладкости функции переменных.