3. Условия абсолютной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье.

Выясним условия абсолютной и равномерной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье.

Теорема 8.17. Если функция периодически (с периодом по каждой из переменных) продолжена на все пространство и обладает в непрерывными производными порядка где — целая часть числа то кратный тригонометрический ряд Фурье функции сходится этой функции) абсолютно и равномерно во всем пространстве

Доказательство. Договоримся обозначать символом коэффициент Фурье производной с номером Производя интегрирование по частям, получим (Для любого так что

и, следовательно,

Формула (8.91) справедлива не только для функции но и для каждой частной производной функции до порядка включительно.

Отсюда сразу же вытекает соотношение

сумма в правой части которого берется по всем целым» неотрицательным удовлетворяющим условию (так что число слагаемых в этой сумме равно Из (8.92) в свою очередь следует, что

Учитывая, что где для четного для нечетного и что

из (8.93) получим

Для абсолютной и равномерной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье (8.88) достаточно (в силу признака Вейерштрасса) доказать сходимость мажорирующего его числового ряда

но (в силу неравенства сходимость последнего ряда ляется прямым следствием сходимости для любого числового ряда и сходимости для

вытекающей из неравенства Бесселя (8.90), записанного для непрерывной функции

Тот факт, что кратный тригонометрический ряд Фурье (8.88) сходится именно к функции вытекает из полноты кратной тригонометрической системы. В самом деле, если бы ряд (8.88) равномерно сходился к некоторой функции то из возможности почленного интегрирования такого ряда вытекало бы, что все коэффициенты Фурье функции совпадают с соответствующими коэффициентами Фурье функции Но тогда разность была бы ортогональна всем элементам кратной тригонометрической системы и (в силу полноты этой системы) равнялась бы нулю. Теорема доказана.

Замечание. Теорема 8.17 может быть уточнена. Теорема 8.18. Если функция периодична по каждой из переменных (с периодом и принадлежит в классу Гёльдера при то кратный тригонометрический ряд Фурье сходится (к этой функции) абсолютно и равномерно во всем пространстве

Выяснение условий неабсолютной сходимости кратного тригонометрического ряда требует привлечения более тонкой техники.