Главная > Математический анализ. Продолжение курса
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. Условия абсолютной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье.

Выясним условия абсолютной и равномерной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье.

Теорема 8.17. Если функция периодически (с периодом по каждой из переменных) продолжена на все пространство и обладает в непрерывными производными порядка где — целая часть числа то кратный тригонометрический ряд Фурье функции сходится этой функции) абсолютно и равномерно во всем пространстве

Доказательство. Договоримся обозначать символом коэффициент Фурье производной с номером Производя интегрирование по частям, получим (Для любого так что

и, следовательно,

Формула (8.91) справедлива не только для функции но и для каждой частной производной функции до порядка включительно.

Отсюда сразу же вытекает соотношение

сумма в правой части которого берется по всем целым» неотрицательным удовлетворяющим условию (так что число слагаемых в этой сумме равно Из (8.92) в свою очередь следует, что

Учитывая, что где для четного для нечетного и что

из (8.93) получим

Для абсолютной и равномерной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье (8.88) достаточно (в силу признака Вейерштрасса) доказать сходимость мажорирующего его числового ряда

но (в силу неравенства сходимость последнего ряда ляется прямым следствием сходимости для любого числового ряда и сходимости для

вытекающей из неравенства Бесселя (8.90), записанного для непрерывной функции

Тот факт, что кратный тригонометрический ряд Фурье (8.88) сходится именно к функции вытекает из полноты кратной тригонометрической системы. В самом деле, если бы ряд (8.88) равномерно сходился к некоторой функции то из возможности почленного интегрирования такого ряда вытекало бы, что все коэффициенты Фурье функции совпадают с соответствующими коэффициентами Фурье функции Но тогда разность была бы ортогональна всем элементам кратной тригонометрической системы и (в силу полноты этой системы) равнялась бы нулю. Теорема доказана.

Замечание. Теорема 8.17 может быть уточнена. Теорема 8.18. Если функция периодична по каждой из переменных (с периодом и принадлежит в классу Гёльдера при то кратный тригонометрический ряд Фурье сходится (к этой функции) абсолютно и равномерно во всем пространстве

Выяснение условий неабсолютной сходимости кратного тригонометрического ряда требует привлечения более тонкой техники.

1
Оглавление
email@scask.ru