3. Площадь поверхности.

Пусть Ф — поверхность, определяемая уравнениями (5.1) и удовлетворяющая указанным выше пяти требованиям (гладкая без особых точек ограниченная полная двусторонняя). С помощью гладких кривых разобьем Ф на конечное число гладких участков имеющих размер меньше где достаточно мало (и определяется условиями леммы 2). Обозначим через А максимальный из размеров частей Ф, (диаметр разбиения). На каждом участке Ф; выберем произвольную точку и спроектируем Ф, на касательную плоскость, проходящую через точку Пусть О — площадь проекции Ф; на указанную

касательную плоскость. Составим сумму площадей проекций всех участков

Определение 1. Число а называется пределом сумм (5.9) при если для любого найдется такое, что для всех разбиений Ф гладкими кривыми на конечное число частей для которых независимо от выбора точек на частях Ф и выполняется неравенство

Определение 2. Если для поверхности Ф существует предел сумм (5.9) при то поверхность Ф называется квадрируемой, а число а называется ее площадью.

Замечание. Нельзя получить площадь поверхности, аппроксимируя поверхность вписанными многогранниками при измельчении размеров граней и беря в качестве площади точную верхнюю грань площадей вписанных многогранников (как мы это делали при нахождении длины кривой). Существует классический пример Шварца (так называемый «сапог Шварца»), показывающий, что у площадей вписанных в цилиндрическую поверхность многогранников не существует конечной точной верхней грани.

Теорема 5.1. Гладкая ограниченная полная двусторонняя поверхность Ф без особых точек, определяемая уравнениями (5.1), квадрируема, и для ее площади а справедливо равенство

Доказательство. При условиях теоремы подынтегральная функция в (5.10) непрерывна в и интеграл (5.10) существует.

Фиксируем любое и по нему такое, что выполнены два условия:

1) любая часть Ф; поверхности Ф, размеры которой меньше однозначно проектируется на касательную плоскость, проходящую через любую точку косинус угла у между двумя нормалями каждого участка Ф размера меньше 6, представим в виде где — величина интеграла (5.10)).

Такой выбор числа возможен в силу лемм 2 и 3.

Разобьем с помощью гладких кривых поверхность Ф на частичные участки размера меньше и, выбрав на каждом участке произвольную точку спроектируем Ф; на касательную плоскость в точке М Обозначим через площадь проекции и составим сумму (5.9).

Для вычисления площади , плоской области воспользуемся формулой замены переменных в двойном интеграле. Выберем декартову систему координат так, чтобы ее начало совпало с ось была направлена по вектору нормали к поверхности в а оси были бы расположены в касательной плоскости в точке В этой системе координат поверхность Ф определяется параметрическими уравнениями (5.1), а вектор нормали - имеет координаты где

Отметим, что косинус угла ум между нормалью в точке М участка и осью равен

Для точек участка в силу выбора и ориентации оси Ясно, что угол ум является углом между нормалями в точках М и участка и поэтому для него справедливо представление (5.7).

Если части Ф; отвечает часть простой плоской области то, используя формулу для площади плоской области при переходе от координат к координатам с помощью соотношений получим

(Мы учли, что величина )

Приняв во внимание выражение (5.11) для , перепишем (5.12) в виде

Применяя к интегралу (5.13) первую формулу среднего значения, получим

где — некоторая точка части Заменив в (5.14) представлением (5.7), получим равенства

Просуммируем эти равенства по всем , учитывая, что

Получим

Отсюда, используя оценку для будем иметь

Теорема доказана.

Замечание 1. Формула (5.10) инвариантна относительно выбора осей координат.

Замечание 2. Теорема 5.1 доказана в предположении, что поверхность Ф определяется уравнениями (5.1). В общем случае согласно лемме 2 поверхность Ф может быть разбита на конечное число частей, каждая из которых определяется своими уравнениями (5.1). После этого площадь поверхности можно определить как сумму площадей указанных частей. Площадь каждой такой части может быть вычислена по формуле (5.10). Таким образом, имеет место следующая

Теорема 5.1. Гладкая ограниченная полная двусторонняя поверхность без особых точек квадрируема.

Замечание 3. Пусть поверхность Ф кусочно гладкая, т. е. составлена из конечного числа гладких ограниченных полных двусторонних поверхностей. Очевидно, поверхность Ф квадрируема, и

ее площадь может быть определена как сумма площадей составляющих ее поверхностей.

Замечание 4. Если ввести обозначения

то, поскольку для любых векторов справедливо равенство получим

Поэтому выражение (5.10) для площади поверхности можно записать также в следующей форме:

Замечание 5. Площадь поверхности обладает свойством аддитивности: если поверхность Ф разбита кусочно гладкой кривой на части не имеющие общих внутренних точек, то площадь поверхности Ф равна сумме площадей частей

Это свойство вытекает из представления площади поверхности с помощью интеграла и аддитивного свойства интеграла.