2. Признаки сравнения.

В этом пункте мы установим ряд признаков, позволяющих сделать заключение о сходимости (или расходимости) рассматриваемого ряда посредством сравнения его с другим рядом, сходимость (или расходимость) которого известна.

Теорема 1.3. Пусть с неотрицательными членами. Пусть, далее, для всех номеров справедливо неравенство

Тогда сходимость ряда влечет за собой сходимость ряда расходимость ряда влечет за собой расходимость ряда

Доказательство. Обозначим частичные суммы рядов соответственно через Из неравенства (1.14) заключаем, что Последнее неравенство означает, что ограниченность последовательности частичных сумм влечет за собой ограниченность последовательности частичных сумм и, наоборот, неограниченность последовательности частичных сумм влечет за» собой неограниченность последовательности частичных сумм . В силу теоремы 1.2 теорема 1.3 доказана.

Замечания к теореме 1.3. 1) В условии теоремы 1.3 можно требовать, чтобы неравенство (1.14) было выполнено не для всех номеров а лишь начиная с некоторого номера . В самом деле, в силу замечания § 1 отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ряда.

2) Теорема 1.3 останется справедливой, если в условии этой теоремы заменить неравенство (114) следующим неравенством:

где с — любая положительная постоянная.

В самом деле, в силу замечания 2 из п. 1 § 1 вопрос о сходимости ряда эквивалентен вопросу о сходимости ряда При этом, конечно, можно требовать, чтобы неравенство (1.15) было выполнено лишь начиная с некоторого достаточно большого номера

Следствие из теоремы 1.3. Если с неотрицательными членами, ряд со строго положительными членами и если существует конечный предел

то сходимость ряда влечет за собой сходимость ряда расходимость ряда влечет за собой расходимость ряда

Доказательство. Так как то по определению предела для некоторого найдется номер такой, что при

Следовательно, при справедливо неравенство Последнее неравенство совпадает с неравенством (1.15) при . В силу замечания 2 к теореме 1.3 следствие доказано.

Теорема 1.4. Пусть строго положительными членами. Пусть далее для всех номеров справедливо неравенство

Тогда сходимость ряда влечет за собой сходимость ряда расходимость ряда влечет за собой расходимость ряда

Доказательство. Запишем неравенство (1.16) для где — любой номер:

Перемножая почленно все написанные неравенства, получим

Поскольку в последнем, неравенстве величина представляет собой положительную постоянную, не зависящую от номера то в силу замечания 2 к теореме 1.3 теорема 1.4 доказана.

Замечание к теореме 1.4. В условии теоремы 1.4 можно требовать, чтобы неравенство (1.16) было выполнено не для всех номеров к, а лишь начиная с некоторого номера (см. замечание 2 п. 1 § 1).

Обе доказанные в настоящем пункте теоремы называют теоремами сравнения или признаками сравнения. Примеры. 1°. Исследуем вопрос о сходимости ряда

Если , то член рассматриваемого ряда не стремится к нулю при Следовательно, нарушено необходимое условие сходимости ряда, и ряд расходится. Если же то, поскольку для любого номера справедливо неравенство

и ряд сходится, теорема сравнения 1.3 позволяет утверждать сходимость рассматриваемого ряда.

2°. Исследуем вопрос о сходимости для любого следующего ряда:

Этот ряд часто называют обобщенным гармонические рядом. Поскольку при для любого номера справедливо неравенство

и гармонический ряд — расходится то теорема сравнения 1.3 позволяет утверждать расходимость ряда (1.17) для любого