3. Сходимость в среднем.

Потребуем, чтобы каждая функция из функциональной последовательности и функция являлись интегрируемыми на сегменте

Тогда (в силу § 4 гл. 9 ч. 1) и функция

также будет являться интегрируемой на сегменте

Введем фундаментальное понятие сходимости в среднем.

Определение 1. Будем говорить, что функциональная последовательность сходится в среднем на сегменте к функции если существует равный нулю предел

Определение 2. Будем говорить, что функциональный ряд

сходится в среднем на сегменте к сумме если последовательность частичных сумм этого ряда сходится в среднем на сегменте к предельной функции

Замечание. Из определений 1 и 2 непосредственно вытекает, что если функциональная последовательность (функциональный ряд) сходится в среднем к на сегменте эта последовательность (этот ряд) сходится в среднем к и на любом сегменте содержащемся в

Выясним вопрос о связи между сходимостью в среднем и равномерной сходимостью последовательности.

Утверждение 1. Если последовательность сходится к функции равномерно на сегменте то эта последовательность сходится к среднем на сегменте

Фиксируем произвольное . В силу равномерной на сегменте сходимости последовательности для положительного числа найдется номер такой, что

для всех номеров удовлетворяющих условию и всех точек х сегмента

Но тогда в силу известной оценки из теории определенного интеграла (см. п. 2 § 4 гл. 9 ч. 1)

для всех номеров удовлетворяющих условию Это означает сходимость последовательности на сегменте в среднем.

Утверждение 2. Сходимость последовательности на некотором сегменте в среднем не влечет за собой не только равномерной на этом сегменте сходимости, но и сходимости хотя бы одной точке указанного сегмента.

Рассмотрим последовательность принадлежащих [0, 1] сегментов . имеющих следующий вид:

Определим член функциональной последовательности следующим соотношением:

Убедимся в том, что последовательность сходится к предельной функции в среднем на сегменте [0, 1].

В самом деле,

так что существует предел

Убедимся, наконец, в том, что построенная последовательность сходится ни в одной точке сегмента [0, 1]. В самом деле, какую бы точку сегмента [0, 1] мы ни фиксировали, среди как угодно больших номеров найдутся как такие, для которых сегмент содержит точку (для этих номеров так и такие, для которых сегмент не содержит точку (для таких номеров ). Таким образом, последовательность содержит бесконечно много членов, равных единице, и бесконечно много членов, равных нулю. Такая последовательность является расходящейся.

Оказывается, сходимость последовательности в среднем обеспечивает возможность почленного интегрирования этой последовательности:

Теорема 2.11. Если последовательность сходится в среднем к на сегменте то эту последовательность можно почленно интегрировать на сегменте т. е. предел

существует и равен

Доказательство. Фиксируем произвольное . В силу сходимости последовательности в среднем на сегменте найдется номер такой, что для всех

Записав очевидное неравенство для величин

получим

Из (2.51) и известной оценки из теории определенного интеграла следует

Отсюда и из (2.50) ясно, что при всех

Так как

то из (2.52) получим, что для всех номеров

Теорема доказана.