§ 8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ДВОЙНЫХ И ПОВТОРНЫХ РЯДОВ

Рассмотрим счетное множество бесконечных числовых последовательностей

(Первый индекс у чисел обозначает номер рассматриваемой последовательности, а второй — номер ее элемента.)

По другому можно сказать, что мы рассматриваем матрицу (1.125), содержащую бесконечное число строк и бесконечное число столбцов. Производя формальное суммирование элементов этой матрицы, можно составить из нее различные ряды.

Если сначала просуммировать каждую строку матрицы (1.125) отдельно, то получится бесконечная последовательность рядов вида

Просуммировав эту последовательность, получим формальную сумму

Эту сумму принято называть повторным рядом.

Другой повторный ряд

получится, если сначала просуммировать отдельно каждый столбец матрицы (1.125), а затем взять сумму элементов полученной при этом последовательности.

Определение 1. Повторный ряд (1.127) называется сходящимся, если сходится каждый из рядов (1.126) и если сходится ряд

в котором обозначает сумму ряда (1.126).

Определение 2. Повторный ряд (1.128) называется сходящимся, если сходится каждый из рядов

и если сходится ряд

в котором обозначает сумму ряда (1.129).

С матрицей (1.125) кроме повторных рядов (1.127) и (1.128) связывают еще так называемый двойной ряд

Определение 3. Двойной ряд (1.130) называется сходящимся, если при независимом стремлении двух индексов и к бесконечности существует конечный предел

так называемых прямоугольных частичных сумм

При этом указанный предел (1.131) называют суммой двойного ряда (1.130).

Из этого определения сразу следует, что если двойной ряд (1.130) получен посредством перемножения членов двух сходящихся «одинарных» рядов

т. е. если члены двойного ряда (1.130) равны то этот двойной ряд сходится, а его сумма равна произведению сумм рядов (1.133).

Далее заметим, что из (1.132) следует, что для любых

Последнее равенство означает

Утверждение. Необходимым условием сходимости двойного ряда (1.130) является стремление к нулю его общего члена, т. е. существование равного нулю предела

при независимом стремлении к бесконечности.

Докажем следующее утверждение о связи между сходимостью двойного и повторного рядов.

Теорема 1.21. Если сходится двойной ряд (1.130) и если сходятся все ряды по строкам (1.126), то сходится и повторный ряд (1.127), причем к этой же сумме, к которой сходится двойной ряд (1.130).

Доказательство. Переходя при фиксированном к пределу при в равенстве (1.132) и учитывая сходимость ряда (1.126) к сумме получим

Из соотношения (1.134) ясно, что сумма повторного ряда (1.127), которая определяется как предел при правой части (1.134), есть не что иное, как повторный предел

Остается доказать существование указанного повторного предела в предположении существующего предела (1.131) и существования для любого предела (1.134), а также доказать, что указанный повторный предел равен пределу (1.131).

Из существования равного предела (1.131) вытекает, что для любого найдутся номера и по такие, что при пгто, справедливо неравенство

Используя факт существования для любого номера предела (1.134), из последнего неравенства получаем, что для любого тгпо справедливо неравенство

а это и означает, что повторный предел существует и равен Теорема доказана.

Как и для обычного ряда с неотрицательными членами справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.22. Если все элементы матрицы (1.125) неотрицательны, то для сходимости составленного из этой матрицы двойного ряда (1.130) необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы (1.132) были ограничены.

Доказательство. Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности заметим, что из ограниченности множества частичных сумм вытекает существование точной верхней грани этого множества, которую мы обозначим через :

По определению точной верхней грани для любого найдется частичная сумма такая, что

Для всех номеров тип, удовлетворяющих условиям в силу неотрицательности элементов справедливо неравенство

Из этого неравенства и из (1.135) вытекает, что

для всех тип при Это и означает существование равного предела (1.131), т. е. сходимость двойного ряда (1.130).

Определение 4. Двойной ряд (1.130) называется а солю но сходящимся, если сходится двойной ряд

составленный из модулей элементов матрицы (1.125).

Теорема 1.23. Если сходится двойной ряд из модулей (1.130), то сходится и двойной ряд (1.130).

Доказательство. Положим Тогда

Здесь неотрицательны и оба не превосходят Кроме того, в силу теоремы 1.22 из сходимости двойного ряда вытекает ограниченность его частичных сумм, поэтому и частичные суммы каждого из двойных рядов

ограничены. Но тогда в силу теоремы 1.22 эти ряды сходятся. Обозначим их суммы соответственно через Р и В силу (1.136) двойной ряд (1.130) сходится к

Рассмотрим теперь обычный ряд

членами которого являются занумерованные в каком угодно порядке элементы матрицы (1.125).

Теорема 1.24. Рассмотрим четыре ряда: два повторных ряда (1.127) и (1.128), двойной ряд (1.130) и ряд вида (1.137). Если хотя бы один из указанных четырех рядов сходится при замене его членов их абсолютными величинами, то все четыре указанных ряда сходятся и имеют одну и ту же сумму.

Доказательство. Сначала докажем, что если один из указанных четырех рядов сходится при замене его членов их модулями, то и остальные три ряда сходятся при замене членов их модулями.

Так как для повторных рядов (1.127) и (1.128) рассуждения совершенно аналогичны (нужно только поменять ролями первый и второй индексы у членов), то в дальнейшем мы будем рассматривать только повторный ряд (1.127). Достаточно доказать три утверждения:

I) сходимость повторного ряда (1.127), у которого все члены заменены их модулями, влечет абсолютную сходимость ряда (1.137);

II) абсолютная сходимость ряда (1.137) влечет абсолютную сходимость двойного ряда (1.130);

III) абсолютная сходимость ряда (1.130) влечет сходимость повторного ряда (1.127), у которого все члены заменены их модулями.

Для доказательства утверждения 1 обозначим через сумму повторного ряда (1.127), у которого все члены заменены их модулями, т. е. ряда

Тогда при любых

Если — произвольная частичная сумма ряда

получающегося при замене членов ряда (1.137) их модулями, то заведомо можно найти столь большие номера тип, что все члены ряда (1.137), входящие в его частичную сумму с номером будут содержаться в первых т. строках и первых столбцах матрицы (1.125).

Но тогда в силу (1.138) будет справедливо неравенство

Это неравенство означает, что последовательность частичных сумм ряда с неотрицательными членами (1.137) ограничена. Следовательно, этот ряд сходится (в силу теоремы 1.2).

Для доказательства утверждения II предположим, что ряд (1.137) сходится. Тогда в силу теоремы 1.2 последовательность его частичных сумм ограничена. Фиксируем произвольную частичную сумму двойного ряда из модулей (1.130). Заведомо найдется номер настолько большой, что частичная сумма ряда (1.137) будет содержать все члены, входящие в частичную сумму ряда (1.130). Но тогда частичная сумма ряда (1.130) не превосходит частичной суммы ряда (1.137). Поэтому множество всех частичных сумм двойного ряда (1.130) ограничено. Таким образом, по теореме 1.22 этот ряд сходится.

Остается доказать утверждение III. Пусть сходится двойной ряд из модулей (1.130). Для доказательства сходимости повторного ряда из модулей (1.127) в силу теоремы. 1.21 достаточно доказать сходимость каждого из рядов

Для этого в силу теоремы 1.2 достаточно доказать, что каждый из рядов (1.139) имеет ограниченную последовательность частичных сумм, но это последнее очевидно, ибо при любом и любом номере сумма

ограничена суммой двойного ряда из модулей (1.130).

Теперь нам остается доказать, что суммы всех трех рядов (1.127), (1.130) и (1.137) совпадают. Обозначим через сумму двойного ряда (1.130). Очевидно, что и сумма ряда (1.137) равна так как в силу абсолютной сходимости этого ряда его сумма не меняется при изменении порядка следования

его членов и этот порядок можно изменить так, что частичные суммы после изменения порядка будут содержать в качестве подмножества частичные суммы двойного ряда (1.130).

Чтобы убедиться в том, что и сумма повторного ряда (1.127) также равна S, достаточно заметить, что из сходимости рядов (1.139) вытекает сходимость рядов (1.126), и сослаться на теорему 1.21. Теорема 1.24 полностью доказана.