5. Признак Раабе.

Признаки Даламбера и Коши были основаны на сравнении рассматриваемого ряда с рядом, представляющим собой сумму членов геометрической прогрессия. Естественно, возникает идея о получении более тонких признаков, основанных на сравнении рассматриваемого ряда с другими стандартными рядами, сходящимися или расходящимися «медленнее», чем ряд, составленный из всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

В этом пункте мы установим признак, основанный на сравнении рассматриваемого ряда с изученным в предыдущем пункте стандартным рядом

Теорема 1.8 (признак . Если для всех номеров по крайней мере начиная с некоторого номера, справедливо неравенство

то ряд сходится (расходится).

II. Если существует предел

то ряд сходится при и расходится при . Теорему II обычно называют признаком Раабе в предельной форме.

Доказательство. Докажем отдельно теоремы I и II. 1) Для доказательства теоремы I перепишем неравенство (1.42) в виде

Так как то найдется некоторое число а, удовлетворяющее неравенствам . Разложив функцию по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано (см. § 9 гл. 6 ч. 1), будем иметь

Полагая в последней формуле получим

Поскольку последовательность является бесконечно малой то, начиная с некоторого номера справедливо неравенство

Сопоставляя (1.45) и (1.46), получим неравенство

Сравнение неравенств (1.44) и (1.47) дает

Последние неравенства можно переписать в виде

Поскольку ряд (1.41) сходится при и расходится при. то неравенства (1.48) и теорема сравнения 1.4 позволяют утверждать, что ряд сходится (расходится). Теорема I доказана.

2) Точно так же, как и в признаках Даламбера и Коши, мы сведем теорему II к теореме I. Пусть сначала Положим . По определению предела (1.43) для этого можно указать номер начиная с которого и, следовательно, справедливо левое неравенство (1.42). Если же то мы положим и, используя определение предела (1.43), получим, что, начиная с некоторого номера справедливо правое неравенство (1.42). Теорема 1.8 полностью доказана.

Замечание. В теореме 1.8 (I) в левом неравенстве (1.42) нельзя взять (при этом сходимость ряда может не иметь места). При теорема 1.8 (II) «не действует» (возможны и сходимость и расходимость ряда).

В качестве примера исследуем вопрос о сходимости ряда

Признаки Даламбера и Коши в применении к этому ряду «не действуют». Применим признак Раабе. Легко проверить, что

Последняя дробь при стремится к производной функции в точке т. е. стремится к а. В силу признака Раабе рассматриваемый ряд сходится при т. е. при и расходится при т. е. при При вопрос о сходимости ряда требует дополнительного исследования, так как признак Раабе «не действует». Другим примером ряда, в применении

к которому «не действует» признак Раабе, может служить ряд (1.40).