Глава 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

В этой главе мы перенесем понятие одномерного определенного интеграла, взятого по прямолинейному отрезку, на случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой плоской или пространственной кривой. Такого рода интегралы называются криволинейными.

§ 1. ПОНЯТИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА

Рассмотрим на плоскости некоторую спрямляемую кривую не имеющую точек самопересечения и участков самоналегания. Предположим, что эта кривая определяется параметрическими уравнениями

и сначала будем считать ее незамкнутой и ограниченной точками А и В с координатами

Пусть на кривой определены три функции: каждая из которых является непрерывной (а следовательно, и равномерно непрерывной) вдоль этой кривой (так, для функции это означает, что для любого найдется такое, что для любых точек расстояние между которыми меньше .

Разобьем сегмент при помощи точек на частичных сегментов При этом кривая L распадается на частичных дуг: где точки имеют координаты

Выберем на каждой частичной дуге произвольную точку координаты которой отвечают некоторому принадлежащему сегменту значению параметра так что . Обозначим символом длину частичной дуги . Как было доказано в § 10 гл. 10 ч. 1, для справедлива формула

Назовем диаметром разбиения кривой L число

Составим три интегральные суммы:

где

Определение 1. Назовем число I пределом интегральной суммы при стремлении к нулю диаметра разбиения А, если для любого найдется такое, что (независимо от выбора точек на частичных дугах как только

Определение 2. Если существует предел интегральной суммы при то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции по кривой L и обозначается одним из символов.

Определение 3. Если существует предел интегральной суммы [соответственно при то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода от функции ] по кривой и обозначается символом соответственно

Сумму

принято называть общим криволинейным интегралом второго рода и обозначать символом

Из определения криволинейных интегралов следует, что:

1) криволинейный интеграл первого рода не зависит от того, в каком направлении (от А к В или от В к Л) пробегает кривая

а для криволинейного интеграла второго рода изменение направления на кривой ведет к изменению знака, т. е.

2) физически криволинейный интеграл первого рода (4.41) представляет собой массу кривой линейная плотность вдоль которой равна общий криволинейный интеграл второго рода (4.43) физически представляет собой работу по перемещению материальной точки из А в В вдоль кривой L под действием силы, имеющей составляющие

Замечание. Для пространственной кривой аналогично вводятся криволинейный интеграл первого рода и три криволинейных интеграла второго рода

Сумму трех последних интегралов принято называть общим криволинейным интегралом второго рода и обот значать символом