6. Отсутствие универсального ряда сравнения.
Мы уже отмечали, что признаки Даламбера и Коши основаны на сравнении рассматриваемого ряда с рядом, составленным из всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а признак Раабе — на сравнении с более медленно сходящимся (или расходящимся) рядом (1.41).
Естественно, возникает вопрос о том, не существует ли такой универсальный (предельно медленно!) сходящийся (или расходящийся) ряд, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о сходимости (или расходимости) любого наперед взятого ряда с неотрицательными членами. Докажем, что такого универсального ряда не существует.
Пусть даны два сходящихся ряда 
обозначим символами 
соответственно их 
остатки. Будем говорить, что ряд сходится медленнее, чем ряд если 
Утверждение. Для каждого сходящегося ряда существует ряд, сходящийся медленнее этого ряда.
В самом деле, пусть 
любой сходящийся ряд, 
— его 
остаток. Докажем, что ряд где 
сходится медленнее, чем ряд В самом деле, если 
остаток ряда 
то
Теперь докажем отсутствие универсального сходящегося ряда, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о сходимости любого наперед взятого сходящегося ряда. В самом
деле, если бы такой универсальный сходящийся ряд существовал, то взяв для него построенный выше ряд 
мы получили бы, что
Таким образом, из сравнения с рядом 
нельзя сделать заключения о сходимости ряда Аналогично доказывается отсутствие универсального расходящегося ряда, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о расходимости любого наперед взятого расходящегося ряда.
