§ 5. БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ И УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ В ДАННОЙ ТОЧКЕ

1. Модуль непрерывности функции. Классы Гёльдера.

Введем понятия, характеризующие гладкость изучаемых функций, и определим классы функций, в терминах которых будут сформулированы условия сходимости тригонометрического ряда Фурье.

Пусть функция определена и непрерывна на сегменте

Определение 1. Для каждого назовем модулем непрерывности функции на сегменте точную верхнюю грань модуля разности на множестве всех принадлежащих сегменту и удовлетворяющих условию

Будем обозначать модуль непрерывности функции на сегменте символом Итак, по определению

Непосредственно из теоремы Кантора (см. теорему 4.16 ч. 1) вытекает, что модуль непрерывности любой непрерывной на сегменте функции стремится к нулю при

Однако для произвольной только непрерывной на сегменте функции нельзя, вообще говоря, ничего сказать а порядке ее модуля непрерывности со относительно малого Рассмотрим дифференцируемые на сегменте функции.

Утверждение. Если функция дифференцируема на сегменте и ее производная ограничена на этом сегменте, то модуль непрерывности функции на указанном сегменте имеет порядок

В самом деле, из теоремы Лагранжа вытекает, что для любых точек сегмента найдется точка заключенная: между и такая, что

Так как производная рграничена на сегменте то найдется постоянная такая, что для всех х из этого сегмента и, следовательно, Из последнего неравенства и из (8.49) заключаем, что для всех из удовлетворяющих условию Но это и означает, что

Пусть а — любое вещественное число из полусегмента

Определение 2. Будем говорить, что функция принадлежит на сегменте классу Гёльдера с показателем если модуль непрерывности и функции на сегменте имеет порядок

Для обозначения того, что функция принадлежит на сегменте классу Гёльдера обычно употребляют символику:

Сразу же отметим, что если на сегменте функция дифференцируема и ее производная ограничена, то эта функция заведомо принадлежит на этом сегменте классу Гёльдера утверждение непосредственно вытекает из доказанного выше соотношения

Замечание. Пусть Точную верхнюю грань дроби на множестве всех принадлежащих сегменту и не равных друг другу, называют константой Гёльдера (или коэффициентом Гёльдера) функции (на сегменте Сумму константы Гёльдера функции на сегменте и точной верхней грани на этом сегменте называют гёльдеровой нормой функции на сегменте и обозначают символом

Пример. Функция принадлежит на сегменте [0, 1] классу так как для любых из [0, 1], связанных условием справедливо равенство

(при этом константа Гёльдера, являющаяся точной верхней гранью на [0, 1] дроби равна единице, а гёльдерова норма равна двум).