3. Разложение функции sin x в бесконечное произведение.

Для удобства разобьем вывод формулы (1.102) на отдельные этапы.

1) Пусть — любое положительное нечетное число: Прежде всего докажем, что для любого отличного от значения справедлива формула

Для вывода формулы (1.107) будем исходить из формулы Муавра

Расписывая правую часть этой формулы с помощью бинома Ньютона и сравнивая мнимые части, получим

Учитывая, что будем иметь

В правой части (1.108) все показатели при косинусах и синусах четные, так что если заменить на то в правой части (1.108) получится многочлен степени относительно . Положив обозначим этот многочлен символом а его корни символами Так как

при и левая часть (1.108) стремится к единице, то многочлен можно представить в виде

Остается определить корни Замечая, что эти корни соответствуют нулям функции получим

Таким образом, формула (1.107) установлена.

2) Положив в формуле и считая, что придадим этой формуле вид

Фиксируем любое (отличное от нуля) значение и возьмем два произвольных натуральных числа удовлетворяющих неравенствам Тогда формулу (1.109) можно записать в виде

где

Прежде всего оценим . Поскольку то аргументы всех синусов, стоящих в формуле Кроме того, ясно, что для всех участвующих в этой формуле, и, следовательно,

так как и поэтому Для любого из интервала справедливы неравенства поэтому для всех номеров превосходящих ,

Почленно перемножая неравенства (1.112), записанные для получим следующую оценку для

Так как аргумент - лежит в первой четверти и для любого из первой четверти то

Таким образом,

Последнее неравенство позволяет следующим образом усилить оценку (1.113):

3) Теперь в формуле (1.110) устремим число к бесконечности, оставляя фиксированными значение х и номер . Поскольку то существует предел левой части (1.110), равный и предел конечно го произведения равный

Далее будем считать, что последний предел отличен от нуля, так как, когда он равен нулю, и разложение (1.102) установлено. Но тогда существует предел Обозначим этот предел через Из неравенств (1.114), справедливых для любого номера и из теоремы вытекает, что

Формула (1.110) в пределе при дает

4) Остается, сохраняя фиксированным х, устремить в формуле (1.116) номер к бесконечности. Поскольку левая часть (1.116) не зависит от , а предел в силу неравенств (1.115) и теоремы существует и равен единице, то существует и предел

Таким образом, разложение (1.102) для установлено Замечание. В полной аналогии с разложениями (1.102) для и (1.103) для можно получить разложения в бесконечные произведения гиперболических функций

Заметим, что из разложений для немедленно получаются разложения в бесконечные произведения функций