2. Формула Остроградского—Гаусса.

Пусть D — односвязная область в (т. е. для любой кусочно гладкой замкнутой кривой С, расположенной в D, можно указать ориентируемую кусочно гладкую поверхность расположенную в D, имеющую границей С), граница, удовлетворяющая двум условиям:

1) поверхность — кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная замкнутая и без особых точек;

2) прямоугольную декартову систему координат в можно выбрать так, что для каждой из осей координат любая прямая, параллельная этой оси, будет пересекать поверхность не более чем в двух точках.

Пусть — единичный вектор внешней нормали к Справедлива следующая теорема.

Теорема 6.2 (формула Остроградского—Гаусса). Пусть а — векторное поле, дифференцируемое в области D, удовлетворяющей условиям 1), 2), и такое, что производная по любому направлению непрерывна в Тогда справедлива формула

Интеграл справа в формуле (6.26) называется потоком векторного поля а через поверхность а интеграл слева в этой формуле — это объемный интеграл от дивергенции вектора по области D. Поэтому теорема 6.2 допускает такую формулировку:

Объемный интеграл от дивергенции вектора по области D равен потоку векторного поля а через поверхность — границу этой области.

Доказательство. Все входящие в формулу (6.26) функции непрерывны, поэтому интегралы слева и справа существуют.

Заметим, что формула (6.26) инвариантна относительно выбора прямоугольной системы координат, поскольку все входящие в нее величины — инварианты. Поэтому достаточно доказать формулу (6.26) при каком-то одном выборе декартовой системы. Выберем

берем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы выполнялось условие 2); пусть Тогда, учитывая, что

получим

Докажем, что справедливы следующие три равенства:

Ограничимся доказательством равенства для интеграла так как равенства для доказываются аналогично. Обозначим через D проекцию области D на плоскость Через граничные гочки области D проведем прямые, параллельные . Каждая из этих прямых пересекается с лишь в одной точке. Множество этих точек разделяет 5 на две части: (см. рис. 6.2). Если мы проведем прямую из внутренней точки области D, параллельную оси то она пересечет поверхность в двух точках: Заметим, что кусочно и непрерывно дифференцируемые функции в D. По формуле сведения тройного интеграла к повторному интегралу получим

Рис. 6.2

Здесь мы воспользовались тем, что и соотношением

справедливым в силу того, что внешняя нормаль к поверхности образует тупой угол с осью (поэтому Теорема доказана.

Замечание 1. Формула Остроградского—Гаусса (6.26) может быть доказана и в случае областей D более общего вида, чем указано, а именно для таких, у которых существует конечное разбиение на области рассмотренного вида. Для этого достаточно формулу (6.26) написать для каждой области и полученные результаты сложить. При этом получится искомая формула. Действительно, в силу аддитивности интеграла в левой части получится интеграл по D. В правой части поверхностные интегралы по соответствующим частям границ областей в сумме дадут ноль, так как внешние нормали в точках границ областей принадлежащих границам двух таких областей, направлены в разные стороны. Таким образом, останутся только интегралы по частям границ составляющим в совокупности границу области D.

Замечание 2. В формулировке теоремы 6.2 от условия 2) можно избавиться и считать, что — кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная поверхность без особых точек. Однако в этом случае доказательство теоремы усложняется.

Замечание 3. Можно считать, что векторное поле а непрерывно дифференцируемо только в открытой области D и непрерывно в Тогда тройной интеграл в формуле (6.26) следует понимать как несобственный.

Замечание 4. Формула Остроградского—Гаусса (6.26) может быть записана, как это следует из доказательства, в виде

Заметим, что интегралы слева и справа имеют инвариантный

характер, т. е. их значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе координат. Для этого достаточно провести рассуждения, аналогичные проведенным в замечании 5 после доказательства теоремы 6.1.