§ 8. КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Этот параграф посвящен обобщению понятия кратного интеграла на случаи неограниченной области интегрирования и неограниченной подынтегральной функции. Мы сформулируем понятие несобственного кратного интеграла так, что будут охвачены оба указанных случая.

1. Понятие кратных несобственных интегралов.

Пусть D — открытое связное множество пространства . Символом D обозначим замыкание D, которое получается путем присоединения к D его границы.

Определение 1. Будем говорить. что последовательность открытых связных множеств монотонно исчерпывает множество D, если: 1) для любого номера объединение всех множеств совпадает с D.

Пусть на множестве D задана функция интегрируемая по Риману на любом замкнутом кубируемом подмножестве D. Будем рассматривать всевозможные последовательности открытых множеств, монотонно исчерпывающие D и такие, что замыкание каждого множества кубируема (отсюда, в частности, вытекает, что каждое множество ограничено).

Определение 2. Если для любой такой последовательности существует предел числовой последовательности

и этот предел не зависит от выбора последовательности то этот предел называется несобственным интегралом от функции по множеству D и обозначается одним из следующих символов:

При этом несобственный интеграл (3.64) называется сходящимся.

Отметим, что символ (3.64) используется и в случае, когда предела указанных выше последовательностей не существует. В этом случае интеграл (3.64) называется расходящимся.