§ 4. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ

В § 2 мы установили ряд признаков сходимости для рядов с неотрицательными членами. Здесь мы изучим вопрос о признаках сходимости для рядов с членами любого знака. Итак, пусть

ряд, члены которого имеют какие угодно знаки. Прежде всего заметим, что для установления абсолютной сходимости этого ряда, т. е. для установления сходимости ряда с положительными членами

можно применить любой из признаков § 2 (признак Даламбера, Коши, Раабе или интегральный признак). Однако ни один из указанных признаков не дает возможности выяснить более тонкий вопрос об условной сходимости ряда (1.75) 13).

Ниже мы и займемся отысканием более тонких признаков, позволяющих устанавливать сходимость ряда (1.75) и в тех случаях, когда этот ряд не является абсолютно сходящимся.

Начнем рассмотрение с вывода одного важного тождества, представляющего собой основной инструмент для установления формулируемых ниже признаков.

Утверждение. Пусть — две произвольные последовательности, — два произвольных номера Тогда справедливо тождество

называемое преобразованием Абеля.

Так как для любого справедливо равенство то левой части (1.77) можно придать вид

В последней сумме правой части (1.78) заменим индекс суммирования на . В результате получим

Таким образом, тождество Абеля (1.77) доказано.

Определение 1. Последовательность назовем последовательностью с ограниченным изменением, если сходится ряд

Очевидно следующее

Утверждение 2. Всякая последовательность с ограниченным изменением является сходящейся.

В самом деле, из сходимости ряда из модулей (1.79) вытекает сходимость ряда без модулей

Обозначив сумму ряда (1.80) через а частичную сумму этого ряда через и учитывая, что получаем, что существует и равен Это означает, что последовательность сходится к пределу

Теорема 1.12 (первый признак Абеля). Если ряд

обладает ограниченной последовательностью частичных сумм, а представляет собой последовательность с ограниченным изменением, сходящуюся к нулю, то ряд

сходится.

Доказательство. По условию существует число такое, что последовательность частичных сумм ряда (1.81) удовлетворяет условию

Фиксируем произвольное и по нему номер такой, что при и для любого натурального справедливы неравенства

(здесь мы воспользовались сходимостью к нулю последовательности и сходимостью ряда

В силу тождества Абеля (1.77) и в силу того, что модуль суммы трех величин не превосходит сумму их модулей, получаем

Так как для всех номеров справедливо неравенство то

Сопоставляя последнее неравенство с (1.83) и (1.84), получаем, что при всех и для любого натурального

а это и означает, что ряд (1.82) сходится (в силу критерия Коши). Теорема 1.12 доказана.

Теорема 1.13 (второй признак Абеля). Если ряд (1.81) сходится, а представляет собой совершенно произвольную последовательность с ограниченным изменением, то ряд (1.82) сходится.

Доказательство. Так как сходящийся ряд (1.81) заведомо обладает ограниченной последовательностью частичных сумм то существует постоянная такая, что для всех номеров

Обозначим сумму ряда (1.81) через а предел последовательности через V. Тогда можно утверждать, что каждое из произведений сходится при к пределу а потому каждая из последовательностей

является бесконечно малой.

Учитывая это и сходимость ряда (1.79) и фиксируя произвольное мы найдем номер такой, что при всех и для любого натурального

Неравенства (1.87), оценка и тождество Абеля (1.77), переписанное в виде

позволяют нам утверждать справедливость неравенства (1.85) (при всех и для любого натурального р). В силу критерия Коши теорема 1.13 доказана.

Следствие 1 из теоремы 1.12 (признак Дирихле — Абеля). Если ряд (1.81) обладает ограниченной последователь ностью частичных сумм, представляет собой невозрастающую последовательность, сходящуюся к нулю, то ряд (1.82) сходится.

Достаточно заметить, что невозрастающая сходящаяся к нулю последовательность является последовательностью с ограничен изменением, ибо для нее частичная сумма ряда равна и имеет предел, равный

Чтобы сформулировать еще одно следствие из теоремы 1.12 введем понятие ряда Лейбница.

Определение 2. Назовем ряд знакочередующимся, если все его члены с нечетными номерами положительны, а все члены с четными номерами отрицательны.

Определение 3. Знакочередующийся ряд, модули членов которого образуют невозрастающую сходящуюся к нулю последовательность, назовем рядом Лейбница.

Следствие 2 из теоремы 1.12 (признаки Лейбница). Всякий ряд Лейбница сходится.

В самом деле, всякий ряд Лейбница можно записать в виде

где — невозрастающая сходящаяся к нулю последовательность (все Такой ряд представляет собой частный случай ряда (1.82) при с рядом (1.81), обладающим ограни ченной последовательностью частичных В таком случае справедливость признака Лейбница вытекает из уже доказанного яризнака Дирихле — Абеля (следствия 1 из теоремы 1.12).

Замечание. Легко убедиться в том, что для произвольного ряда Лейбница (1.88) последовательность частичных сумм с четными номерами является неубывающей, а последовательность частичных сумм с нечетными номерами является не» возрастающей. Отсюда и из замечания 3 к теореме выте кает, что сумма ряда Лейбница (1.88) для любого номера удовлетворяет неравенствам

Так как то каждая из сумм отклоняется от не более чем на Отсюда и из того, что вытекает, что для любого номера справедлива оценка Эта оценка играет важную роль для приближенного вычисления суммы ряда Лейбница с помощью его частичной суммы.

Примеры. 1°. Выше с помощью формулы Маклорена для функции мы уже доказали сходимость ряда

Заметим, что сходимость этого ряда сразу вытекает из признака Лейбница.

2°. Изучим вопрос о сходимости ряда

Этот ряд является рядом вида (1.82) при

Легко видеть, что последовательность частичных сумм ряда (1.81) с такими имеет вид т. е. является ограниченной.

Так как последовательность не возрастает и сходится к нулю, то исследуемый ряд сходится по признаку Дирихле — Абеля.

3°. Выясним вопрос о сходимости ряда где х — некоторое фиксированное вещественное число. Пользуясь обозначениями теоремы 1.13, положим Оценим последовательность частичных сумм ряда Поскольку для любого номера

то, суммируя это соотношение от 1 до получим

Отсюда

Таким образом, для любого х, не кратного последовательность частичных сумм ограничена:

По теореме 1.13 рассматриваемый ряд сходится для любого значения х, не кратного Если же х кратно то рассматриваемый ряд превращается в гармонический и, как доказано выше, расходится.