4. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами.

Теорема 2.18 (теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте то существует последовательность многочленов равномерно на сегменте сходящаяся к т. е. для любого найдется многочлен с номером зависящим от такой, что

сразу для всех х из сегмента

Иными словами, непрерывную на сегменте функцию можно равномерно на этом сегменте приблизить многочленом с наперед заданной точностью е.

Доказательство. Не ограничивая общности, мы можем вместо сегмента рассматривать сегмент Кроме того достаточно доказать теорему для непрерывной функции обращающейся в нуль на концах сегмента [0, 1], т. е. удовлетворяющей условиям . В самом деле, если бы не удовлетворяла этим условиям, то, положив

мы получили бы непрерывную на сегменте [0, 1] функцию удовлетворяющую условиям Тогда из возможности представления в виде предела равномерно сходящейся последовательности многочленов вытекало бы, что и представима

ставима в виде предела равномерно сходящейся последовательности многочленов (так как разность является многочле ном первой степени).

Итак, пусть функция непрерывна на сегменте [0, 1] и удовлетворяет условиям Такую функцию можно продолжить на всю прямую, положив ее равной нулю за пределами сегмента [0,1], и утверждать, что так продолженная функция является равномерно непрерывной на всей прямой.

Рассмотрим следующую конкретную последовательность неотрицательных многочленов степени

у каждого из которых постоянная выбрана так, чтобы выполнялось равенство

Не вычисляя точного значения постоянной оценим ее сверху. Для этого заметим, что для любого номера и для всех х из сегмента [0, 1] справедливо неравенство

Применяя неравенство (2.81) и учитывая, что при любом , будем иметь

Из (2.79), (2.80) и (2.82) заключаем, что для всех номеров справедлива следующая оценка сверху для постояинной

Из (2.83) и (2.79) вытекает, что при любом для всех х из сегмента справедливо неравенство

Из (2.84) следует, что при любом фиксированном последовательность неотрицательных многочленов сходится к нулю равномерно на сегменте

Положим теперь для любого х из сегмента

и убедимся в том, что для любого функция есть многочлен степени причем и является искомой последовательностью многочленов, равномерно сходящейся на сегменте [0, 1] к функции

Так как изучаемая функция равна нулю за пределами сегмента [0, 1], то для любого х из сегмента [0, 1] интеграл (2.85) можно записать в виде

Заменяя в последнем интеграле переменную на мы придадим ему вид

Из (2.86) и (2.79) ясно, что функция представляет собой многочлен степени

Остается доказать, что последовательность сходится к равномерно на сегменте Фиксируем произвольное Для фиксированного в силу равномерной непрерывности на всей числовой прямой найдется такое, что

Заметим еще, что так как непрерывна на сегменте [0, 1], то она ограничена на этом сегменте, а следовательно, и всюду на

числовой прямой. Это означает, что существует постоянная А такая, что для всех х

Используя (2.80), (2.84), (2.87) и (2.88) и учитывая неотрицательность оценим разность Для всех х из сегмента будем иметь

Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить, что для всех достаточно больших номеров справедливо неравенство

Следствие из теоремы 2.18. Если не только сама функция но и ее производные до некоторого порядка к включительно непрерывны на сегменте то существует последовательность многочленов такая, что каждая из последовательностей сходится равномерно на сегменте [0, 1] соответственно к

В самом деле, не ограничивая общности, мы можем считать, что каждая из функций обращается в нудь при и при а при таких условиях функцию можно продолжить на всю прямую, полагая ее равной нулю вне [0, 1], так что продолженная функция и все ее производные до порядка включительно окажутся равномерно непрерывными на всей числовой прямой.

Но тогда, обозначая через тот же многочлен что и выше, и повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 2.18, мы докажем, что каждая из разностей

является бесконечно малой, равномерно относительно х на сегменте

Замечание 1. Изложенное нами доказательство легко обобщается на случай функции переменных непрерывной в -мерном кубе

Совершенно аналогично теореме 2.18 доказывается, что для такой функции существует равномерно сходящаяся к ней в m-мерном кубе последовательность многочленов от переменных .

Замечание 2. Заметим, что фигурирующие в теореме 2.18 многочлены можно заменить функциями более общей природы, сохраняя при этом утверждение о возможности равномерного приближения такими функциями любой непрерывной функции

Договоримся называть произвольную совокупность А функций, определенных на некотором множестве Е, алгеброй, если: при произвольных и при вещественном а.

Иными словами, алгебра есть совокупность функций, замкнутая относительно сложения и умножения функций и умножения функций на вещественные числа.

Если для каждой точки х множества Е найдется некоторая функция такая, что то говорят, что алгебра А не исчезает ни в одной точке х множества Е.

Говорят, что совокупность А функций, определенных на множестве Е, разделяет точки множества Е, если для любых двух различных точек этого множества найдется функция из А такая, что

Имеет место следующее замечательное утверждение:

Теорема 2.19 (теорема Вейерштрасса — Стоуна). Пусть А — алгебра непрерывных на компактном множестве Е функций, которая разделяет точки множества Е и не исчезает ни в одной точке этого множества. Тогда каждая непрерывная на множестве Е функция может быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности функций алгебры А.