2. Доказательство замкнутости тригонометрической системы.

Опираясь на теорему Вейерштрасса, докажем следующую основную теорему.

Теорема 8.8. Тригонометрическая система (8.10) является замкнутой, т. е. для любой кусочно непрерывной на сегменте функции и любого положительного числа найдется тригонометрический многочлен такой, что

Доказательство. Прежде всего заметим, что для любой кусочно непрерывной на сегменте функции и для любого найдется непрерывная на этом сегменте функция

удовлетворяющая условию и такая, что

В самом деле, достаточно взять функцию совпадающей с всюду, кроме достаточно малых окрестностей точек разрыва функции и точки а в указанных окрестностях взять линейной функцией так, чтобы являлась непрерывной на всем сегменте и удовлетворяла условию

Так как кусочно непрерывная функция и срезающая ее линейная функция являются ограниченными, то, выбирая указанные окрестности точек разрыва и точки достаточно малыми, мы обеспечим выполнение неравенства (8.35).

По теореме Вейерштрасса 8.7 для функции найдется тригонометрический многочлен такой, что для всех х из сегмента справедливо неравенство

Из (8.36) заключаем, что

Из (8.35) и (8.37) и из неравенства треугольника для норм вытекает неравенство (8. 34). Теорема доказана.

Замечание 1. Из теорем 8.8 и 8.5 сразу же вытекает, что тригонометрическая система (8.10) является полной. Отсюда в свою очередь вытекает, что система является полной на множестве всех функций, кусочно непрерывных на сегменте (или соответственно на сегменте . В самом деле, всякая кусочно непрерывная на сегменте функция ортогональная на этом сегменте всем элементам системы после нечетного продолжения на сегмент оказывается ортогональной на сегменте всем элементам тригонометрической системы (8.10). В силу полноты системы (8.10) эта функция равна нулю на , а следовательно, и на . Совершенно аналогично доказывается, что — является полной на множестве всех функций, кусочно непрерывных на сегменте (или соответственно на сегменте

Замечание 2. Можно показать, что среди ортонормированных систем, указанных в § 1, системы, образованные с помощью полиномов Лежандра, полиномов Чебышева и функций Хаара, являются замкнутыми, а система Радемахера замкнутой не является.