Теперь остается заметить, что в силу непрерывности тригонометрического многочлена и теоремы Кантора (см. теорему
для фиксированного нами
найдется
такое, что при
и при всех
из
и потому
Сопоставляя неравенство (8.59) с неравенствами (8.57), (8.58) и (8.60), получим
для всех и, для которых
Лемма доказана.
Извлечем теперь из этой леммы ряд важных для дальнейшего следствий.
Следствие 1. Если функция
кусочно непрерывна на сегменте
и периодически (с периодом
) продолжена на всю бесконечную прямую,
любая фиксированная точка сегмента
, то для любого
найдется
такое, что
при
Доказательство. Сделаем в интеграле, стоящем в левой части (8.62), замену переменной
В силу равенства (8.50)
Следовательно, неравенство (8.62) является следствием (8.61).
Из равенства (8.65) вытекает сходимость ряда, стоящего в левой его части, в каждой фиксированной точке х сегмента
Так как указанный ряд состоит из неотрицательных членов, то в силу теоремы Дини для доказательства равномерной на сегменте
сходимости указанного ряда достаточно доказать, что как функции
так и сумма ряда (8.65)
— непрерывные функции х на сегменте
а это сразу вытекает из предыдущего следствия (достаточно учесть, что квадрат кусочно непрерывной функции является кусочно непрерывной функцией и что
при каждом фиксированном номере
являются непрерывными функциями).
Следствие 4. Если каждая из функций
кусочно непрерывна на сегменте
и периодически с периодом
продолжена на всю прямую, то последовательность
сходится к нулю равномерно относительно х на сегменте
(а следовательно, и на всей прямой).
Доказательство. Достаточно учесть, что
и применить предыдущее следствие, беря в (8.63) вместо
функцию
, а в (8.64) вместо функцию