3. Вспомогательные предложения.

Лемма. Пусть кусочно непрерывна на сегменте и периодически с периодом продолжена на всю бесконечную прямую. Тогда для любого найдется такое, что при всех и, удовлетворяющих условию справедливо неравенство

Доказательство. Фиксируем произвольное Согласно теореме 8.8 (о замкнутости тригонометрической системы) для функции найдется тригонометрический многочлен такой, что

и потому на основании неравенства Коши—Буняковского

Из неравенства (8.57), из леммы и из того, что являются периодическими функциями периода заключаем, что для любого числа и

Поскольку модуль суммы трех величин не превосходит сумму модулей этих величин, то для любого числа и справедливо неравенство

Теперь остается заметить, что в силу непрерывности тригонометрического многочлена и теоремы Кантора (см. теорему для фиксированного нами найдется такое, что при и при всех из

и потому

Сопоставляя неравенство (8.59) с неравенствами (8.57), (8.58) и (8.60), получим

для всех и, для которых Лемма доказана.

Извлечем теперь из этой леммы ряд важных для дальнейшего следствий.

Следствие 1. Если функция кусочно непрерывна на сегменте и периодически (с периодом ) продолжена на всю бесконечную прямую, любая фиксированная точка сегмента , то для любого найдется такое, что

при

Доказательство. Сделаем в интеграле, стоящем в левой части (8.62), замену переменной

В силу равенства (8.50)

Следовательно, неравенство (8.62) является следствием (8.61).

Следствие 2. Если каждая из функций кусочно непрерывна на сегменте и периодически (с периодом продолжена на всю прямую, то функция

является непрерывной функцией х на сегменте .

Доказательство. Пусть х — любая точка сегмента . Тогда

и поскольку кусочно непрерывная на сегменте функция удовлетворяет на этом сегменте условию ограниченности то

и потому в силу (8.62) для любого

Непрерывность в точке х доказана.

Следствие 3. Если каждая из функций кусочно непрерывна на сегменте и периодически (с периодом продолжена на всю прямую, то тригонометрические коэффициенты Фурье функции при разложении ее по переменной

при сходятся к нулю равномерно относительно х на сегменте (а следовательно, и на всей прямой).

Доказательство. Для любой фиксированной точки х сегмента функция является кусочно непрерывной функцией аргумента на сегменте , поэтому для нее справедливо равенство Парсеваля

Из равенства (8.65) вытекает сходимость ряда, стоящего в левой его части, в каждой фиксированной точке х сегмента Так как указанный ряд состоит из неотрицательных членов, то в силу теоремы Дини для доказательства равномерной на сегменте сходимости указанного ряда достаточно доказать, что как функции так и сумма ряда (8.65) — непрерывные функции х на сегменте а это сразу вытекает из предыдущего следствия (достаточно учесть, что квадрат кусочно непрерывной функции является кусочно непрерывной функцией и что при каждом фиксированном номере являются непрерывными функциями).

Следствие 4. Если каждая из функций кусочно непрерывна на сегменте и периодически с периодом продолжена на всю прямую, то последовательность

сходится к нулю равномерно относительно х на сегменте (а следовательно, и на всей прямой).

Доказательство. Достаточно учесть, что

и применить предыдущее следствие, беря в (8.63) вместо функцию , а в (8.64) вместо функцию